Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 7



Aufgaben zu Gruppen

Man gebe die Gruppenaxiome in quantorenlogischer Gestalt an.


Es sei eine Gruppe. Zeige, dass

für alle ist.


Es sei eine Gruppe und . Drücke das Inverse von durch die Inversen von und aus.


Man konstruiere eine Gruppe mit drei Elementen.


Es sei eine Menge und

Zeige, dass mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist.


Es sei die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der positiven natürlichen Zahlen. Wir betrachten die zweielementige Menge

und die Menge

Wir wollen zu einem Modell für die ganzen Zahlen machen. Als abkürzende Schreibweise verwenden wir für das Paar und für das Paar . Man definiere eine Verknüpfung

auf , die für die Eigenschaft
erfüllt und die zu einer

kommutativen Gruppe mit neutralem Element macht.

(Man darf zu mit die Differenz verwenden, also das eindeutig bestimmte Element, das zu addiert ergibt.)



Aufgaben zu Körper

Man gebe die Körperaxiome in quantorenlogischer Gestalt an.


Wir betrachten die Menge

mit den beiden ausgezeichneten Elementen

der Addition

und der Multiplikation

Zeige, dass mit diesen Operationen ein Körper ist.


Es seien Elemente in einem Körper, wobei und nicht seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also

Zeige, dass die „beliebte Formel“

nicht gilt.


Zeige, dass die einelementige Menge alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass ist.


Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper.


Zeige, dass in einem Körper das „umgekehrte Distributivgesetz“, also

nicht gilt.


Zeige, dass die Verknüpfung auf einer Geraden, die zwei Punkten ihren Mittelpunkt zuordnet, kommutativ, aber nicht assoziativ ist. Gibt es ein neutrales Element?


Es sei ein Körper mit . Zeige, dass die Verknüpfung, die zwei Elementen und ihr arithmetisches Mittel zuordnet, nicht assoziativ ist.


Wie viele „Rechenschritte“ (einschließlich „Gleichheitstests“) muss man durchführen, um die in Beispiel 7.2 beschriebene Struktur auf formal als einen Körper nachzuweisen? Kann man durch eine geschickte Reihenfolge die Anzahl der Schritte reduzieren?


Die folgende Aufgabe ist eher ein kleines Projekt als eine Aufgabe.

In dieser Aufgabe nehmen wir an, dass die ganzen Zahlen mit ihren wesentlichen algebraischen Eigenschaften bekannt sind. Wir wollen die rationalen Zahlen ausgehend von konstruieren[1] und nachweisen, dass es sich um einen Körper handelt. Dazu definieren wir auf der Produktmenge

zunächst eine Äquivalenzrelation durch[2]

  1. Zeige, dass dies wirklich eine Äquivalenzrelation ist. Es sei die Menge der Äquivalenzklassen.
  2. Definiere auf eine Addition. Man achte insbesondere auf die Wohldefiniertheit.[3]
  3. Zeige, dass mit der Addition eine kommutative Gruppe ist.
  4. Definiere auf eine Multiplikation.
  5. Zeige, dass mit der Multiplikation ebenfalls eine kommutative Gruppe ist.
  6. Zeige, dass mit diesen Verknüpfungen ein Körper ist.
  7. Wie findet man die ganzen Zahlen in wieder?
  8. Stimmen Addition und Multiplikation innerhalb von mit Addition und Multiplikation innerhalb von überein?
  9. Definiere eine Ordnung auf derart, dass zu einem archimedisch angeordneten Körper[4] wird.


Fußnoten

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  1. Insbesondere wird kein Bezug auf reelle Zahlen genommen.
  2. Die folgende Bezeichnung soll an Zähler und Nenner erinnern. Diese Vorstellung hilft auch bei der Aufgabe, sie darf aber nich als Beweismittel eingesetzt werden.
  3. Das Problem der Wohldefiniertheit bei einer Abbildung, die auf einer Menge von Äquivalenzklassen definiert werden soll, besteht darin, dass man die Abbildung unter Bezug auf einen Repräsentanten der Klasse definiert. Dann stellt sich die Frage, ob die Definition unabhängig von der Wahl des Repräsentanten ist.
  4. Dieser Begriff wird erst in der nächsten Vorlesung eingeführt, eine Ordnung kann man aber schon jetzt definieren.