Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	4	3	4	6	2	3	2	2	4	4	4	4	8	6	4	4	64

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {563}{1231}}\right).$

Bemerkung: ${}563$ und ${}1231$ sind Primzahlen.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ${}\mathbb {Z} /(31)$?

Wie viele Elemente besitzt ${}\mathbb {Z} /(31)$, die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Es sei ${}x$ ein primitives Element von ${}\mathbb {Z} /(31)$. Liste explizit alle Elemente ${}x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus ${}Q(R)=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$, das durch die beiden Erzeuger

${\frac {5}{7}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {-8+6{\mathrm {i} }}{5}}$

gegeben ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei

${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+6)\,.$

Berechne den Hauptdivisor zu

${}q={\frac {4}{5}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {-6}}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe zwei Primfaktoren von ${}2^{35}-1$ an.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme ein Element aus ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-11}}]$, das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert ${}1$ hat, aber kein Quadratrest vorliegt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Betrachte die Quadratrestgruppe

$\mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2},$

wobei ${}\mathbb {Q} ^{\times 2}$ die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse ${}x\in \mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2}$ einen Repräsentanten aus ${}\mathbb {Z}$ gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen ${}p$ mit der Eigenschaft, dass ${}7$ ein Quadratrest modulo ${}p$ ist.

Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in ${}\mathbb {Z} /(p)$ vom Grad ${}d\geq p$. Zeige, dass es ein Polynom ${}g(x)$ mit einem Grad ${}<p$ derart gibt, dass für alle Elemente ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ die Gleichheit

${}f(a)=g(a)\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde die kleinste Zahl ${}n\geq 100$ derart, dass zugleich das reguläre ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass ${}n$ eine Summe von zwei Quadraten ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beschreibe alle sechsten Einheitswurzeln im quadratischen Zahlbereich ${}A_{-3}$ und im Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(19)$ (eine ${}n$-te Einheitswurzel in einem Ring ${}R$ ist ein Element ${}x$ mit ${}x^{n}=1$).

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und sei ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Es seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ Elemente, die eine ${}\mathbb {Q}$- Basis von ${}L$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante

$\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})$

unter all diesen Basen aus ${}{\mathfrak {a}}$ minimal sei.

Zeige, dass dann

${}{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,$

ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {Z} _{n}$ die Nenneraufnahme zu ${}n$ (${}\mathbb {Z} _{n}$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von ${}n$ als Nenner schreiben kann). Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe ${}R$ mit

${}\mathbb {Z} \subseteq R\subseteq \mathbb {Z} _{n}\,$

gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von ${}n$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}R$ und ${}S$ Integritätsbereiche und sei ${}R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Es sei ${}f\in R$ ein Element, das in ${}S$ eine Einheit ist. Zeige, dass ${}f$ dann schon in ${}R$ eine Einheit ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein faktorieller Zahlbereich. Zeige, dass dann ${}R$ ein Hauptidealbereich ist. Dabei dürfen grundlegende Sätze über Zahlbereiche verwendet werden.

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