Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 19/latex
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und sei
\mathl{f \in R}{.} Zeige, dass
\mathl{N(f) \in (f)}{} ist, dass also die Norm zum von $f$ erzeugten Hauptideal gehört. Zeige durch ein Beispiel, dass dies für die Spur nicht gelten muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei
\mathl{f_1, \ldots ,f_n \in R}{} eine $\Z$-Basis von $R$. Zeige, dass dann der Betrag der
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
\mathdisp {{{|}}\triangle(f_1, \ldots , f_n){{|}}} { }
minimal ist unter allen Diskriminanten von linear unabhängigen $n$-Tupeln aus $R$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und sei
\mathl{f_1, \ldots ,f_n \in R}{} eine $\Z$-Basis von $R$ mit
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
\mathdisp {\triangle(f_1, \ldots , f_n)} { . }
Es sei
\mathl{h \in R}{.} Zeige, dass
\mathl{hf_1, \ldots ,hf_n}{} eine $\Z$-Basis des Hauptideals $(h)$ bildet und dass gilt:
\mathdisp {\min\{ {{|}}\triangle (b_1, \ldots, b_n){{|}} :\, (b_1, \ldots ,b_n) \, \Z\mbox{-Basis von } (h) \} = N(h)^2 {{|}}\triangle (f_1, \ldots , f_n){{|}}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
der
\definitionsverweis {Gaußschen Zahlen}{}{.}
Man gebe zwei wesentlich verschiedene $\Z$-Basen von
\mathl{\Z[ { \mathrm i} ]}{} an und überprüfe, dass die Diskriminanten übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Finde möglichst viele (nicht isomorphe) kommutative Ringe mit vier Elementen. Beweise, dass die Liste vollständig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{max. 4}
{
Konstruiere
\definitionsverweis {endliche Körper}{}{}
mit
\mathl{4,8,9,16,25,27,32,49,64,81,121,125}{} und
\mathl{132}{} Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Gehe zur Seite \einrueckung{Endliche Körper/Nicht Primkörper/Einige Operationstafeln} und erstelle für einen der dort angegebenen Körper Additions- und Multiplikationstafeln.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme in ${\mathbb F}_{ 9 }$ für jedes Element die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{.} Man gebe insbesondere die \definitionsverweis {primitiven Einheiten}{}{} an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e,d
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige:
\mathl{{\mathbb F}_{ p^d }}{} ist genau dann ein Unterkörper von
\mathl{{\mathbb F}_{ p^e }}{}, wenn $e$ ein Vielfaches von $d$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{7}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Ringerweiterung}{}{}
vom Grad drei. Klassifiziere die möglichen Typen von $L$, ähnlich wie in
Lemma 19.9.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{F_2 [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $2,3,4$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{F_3 [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{}
genau die
\definitionsverweis {irreduziblen Elemente}{}{}
in $K[X]$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$p$. Sei
\maabb {F} {K} {K
} {}
der
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass genau die Elemente aus
\mathl{\Z/(p)}{} invariant unter $F$ sind.
}
{} {}