Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 19

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in R$. Zeige, dass ${}N(f)\in (f)$ ist, dass also die Norm zum von ${}f$ erzeugten Hauptideal gehört. Zeige durch ein Beispiel, dass dies für die Spur nicht gelten muss.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ eine ${}\mathbb {Z}$-Basis von ${}R$. Zeige, dass dann der Betrag der Diskriminante

${|}\triangle (f_{1},\ldots ,f_{n}){|}$

minimal ist unter allen Diskriminanten von linear unabhängigen ${}n$-Tupeln aus ${}R$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ eine ${}\mathbb {Z}$-Basis von ${}R$ mit Diskriminante

$\triangle (f_{1},\ldots ,f_{n}).$

Es sei ${}h\in R$. Zeige, dass ${}hf_{1},\ldots ,hf_{n}$ eine ${}\mathbb {Z}$-Basis des Hauptideals ${}(h)$ bildet und dass gilt:

$\min\{{|}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n}){|}:\,(b_{1},\ldots ,b_{n})\,\mathbb {Z} {\mbox{-Basis von }}(h)\}=N(h)^{2}{|}\triangle (f_{1},\ldots ,f_{n}){|}.$

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Diskriminante der Gaußschen Zahlen. Man gebe zwei wesentlich verschiedene ${}\mathbb {Z}$-Basen von ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ an und überprüfe, dass die Diskriminanten übereinstimmen.

Aufgabe (3 Punkte)

Finde möglichst viele (nicht isomorphe) kommutative Ringe mit vier Elementen. Beweise, dass die Liste vollständig ist.

Aufgabe (max. 4 Punkte)

Konstruiere endliche Körper mit ${}4,8,9,16,25,27,32,49,64,81,121,125$ und ${}132$ Elementen.

Aufgabe (3 Punkte)

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Endliche Körper/Nicht Primkörper/Einige Operationstafeln

und erstelle für einen der dort angegebenen Körper Additions- und Multiplikationstafeln.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in ${}{\mathbb {F} }_{9}$ für jedes Element die multiplikative Ordnung. Man gebe insbesondere die primitiven Einheiten an.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e,d\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige: ${}{\mathbb {F} }_{p^{d}}$ ist genau dann ein Unterkörper von ${}{\mathbb {F} }_{p^{e}}$, wenn ${}e$ ein Vielfaches von ${}d$ ist.

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ eine Ringerweiterung vom Grad drei. Klassifiziere die möglichen Typen von ${}L$, ähnlich wie in Lemma 19.9.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme im Polynomring ${}F_{2}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${}2,3,4$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme im Polynomring ${}F_{3}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${}3$.

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass die irreduziblen Polynome genau die irreduziblen Elemente in ${}K[X]$ sind.

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p$. Sei ${}F\colon K\rightarrow K$ der Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass genau die Elemente aus ${}\mathbb {Z} /(p)$ invariant unter ${}F$ sind.