Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 20

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere und beweise eine Version des Eulerschen Kriteriums für beliebige endliche Körper.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ${}q$ eine echte Primzahlpotenz und ${}{\mathbb {F} }_{q}$ der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in ${}{\mathbb {F} }_{q^{2}}$ jedes Element aus ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein Quadrat ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den (Isomorphietyp des) Ganzheitsringes der quadratischen Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{2}+{\frac {3}{2}}X-{\frac {5}{7}}\right)}\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und betrachte die quadratische Erweiterung ${}\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$. Es sei ${}p$ ein Primfaktor von ${}D$ und es sei vorausgesetzt, dass weder ${}p$ noch ${}-p$ ein Quadratrest modulo ${}D/p$ ist. Dann ist ${}p$ irreduzibel in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$, aber nicht prim.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {7}}]$. Bestimme die Primideale in ${}R$, die über ${}p=29$ liegen und zeige, dass es sich um Hauptideale handelt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {15}}]$. Bestimme die Primideale in ${}R$, die über ${}p=17$ liegen (man gebe Idealerzeuger an). Handelt es sich um Hauptideale?

Aufgabe (2 Punkte)

Finde ein quadratfreies ${}D$ derart, dass die natürliche Inklusion

${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq A_{D}\,$

die Eigenschaft besitzt, dass es zwei verschiedene Primideale ${}{\mathfrak {q}}$ und ${}{\mathfrak {q}}'$ in ${}A_{D}$ gibt, die beide über dem gleichen Primideal ${}{\mathfrak {p}}\subset \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ liegen. Was ist ${}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z}$?

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für die quadratischen Zahlbereiche ${}A_{D}$ mit negativem ${}D$ sämtliche Einheiten.

Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass in ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {7}}]$ das Element ${}8+3{\sqrt {7}}$ eine Einheit ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass ${}2$ im Ring ${}{\mathbb {Z} }[{\sqrt {5}}]$ irreduzibel, aber nicht prim ist. Wie sieht es in ${}A_{5}$ aus?