Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 20/latex
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere und beweise eine Version des Eulerschen Kriteriums für beliebige \definitionsverweis {endliche Körper}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Sei $q$ eine echte Primzahlpotenz und ${\mathbb F}_q$ der zugehörige
\definitionsverweis {endliche Körper}{}{.} Zeige, dass in
\mathl{{\mathbb F}_{q^2}}{} jedes Element aus ${\mathbb F}_q$ ein Quadrat ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme den
\zusatzklammer {Isomorphietyp des} {} {}
\definitionsverweis {Ganzheitsringes der quadratischen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subset} { \Q[X]/ { \left( X^2+ \frac{3}{2}X - \frac{5}{7} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $D \neq 0,1$ eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
und betrachte die quadratische Erweiterung
\mathl{\Z \subset \Z[\sqrt{D}]}{.} Es sei $p$ ein Primfaktor von $D$ und es sei vorausgesetzt, dass weder $p$ noch $-p$ ein Quadratrest modulo $D/p$ ist. Dann ist $p$ irreduzibel in
\mathl{\Z[\sqrt{D}]}{,} aber nicht prim.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[\sqrt{7}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
in $R$, die über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{29
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegen und zeige, dass es sich um
\definitionsverweis {Hauptideale}{}{}
handelt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[\sqrt{15}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
in $R$, die über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{17
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegen
\zusatzklammer {man gebe Idealerzeuger an} {} {.}
Handelt es sich um Hauptideale?
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Finde ein quadratfreies $D$ derart, dass die natürliche Inklusion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z[\sqrt{D}]
}
{ \subseteq} { A_D
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Eigenschaft besitzt, dass es zwei verschiedene Primideale $\mathfrak q$ und $\mathfrak q'$ in $A_D$ gibt, die beide über dem gleichen Primideal
\mathl{{\mathfrak p} \subset \Z[\sqrt{D}]}{} liegen. Was ist
\mathl{{\mathfrak p} \cap \Z}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme für die \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{} $A_D$ mit negativem $D$ sämtliche \definitionsverweis {Einheiten}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Zeige, dass in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[\sqrt{7}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Element
\mathl{8+ 3 \sqrt{7}}{} eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass $2$ im Ring
\mathl{{\mathbb Z}[\sqrt{5}]}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,} aber nicht
\definitionsverweis {prim}{}{} ist. Wie sieht es in $A_5$ aus?
}
{} {}