Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 20/latex




\inputaufgabe
{}
{

Formuliere und beweise eine Version des Eulerschen Kriteriums für beliebige \definitionsverweis {endliche Körper}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Sei $q$ eine echte Primzahlpotenz und ${\mathbb F}_q$ der zugehörige \definitionsverweis {endliche Körper}{}{.} Zeige, dass in
\mathl{{\mathbb F}_{q^2}}{} jedes Element aus ${\mathbb F}_q$ ein Quadrat ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme den \zusatzklammer {Isomorphietyp des} {} {} \definitionsverweis {Ganzheitsringes der quadratischen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subset} { \Q[X]/ { \left( X^2+ \frac{3}{2}X - \frac{5}{7} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $D \neq 0,1$ eine \definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{} und betrachte die quadratische Erweiterung
\mathl{\Z \subset \Z[\sqrt{D}]}{.} Es sei $p$ ein Primfaktor von $D$ und es sei vorausgesetzt, dass weder $p$ noch $-p$ ein Quadratrest modulo $D/p$ ist. Dann ist $p$ irreduzibel in
\mathl{\Z[\sqrt{D}]}{,} aber nicht prim.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{\Z[\sqrt{7}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Primideale}{}{} in $R$, die über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{29 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} liegen und zeige, dass es sich um \definitionsverweis {Hauptideale}{}{} handelt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{\Z[\sqrt{15}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Primideale}{}{} in $R$, die über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{17 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} liegen \zusatzklammer {man gebe Idealerzeuger an} {} {.} Handelt es sich um Hauptideale?

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Finde ein quadratfreies $D$ derart, dass die natürliche Inklusion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z[\sqrt{D}] }
{ \subseteq} { A_D }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Eigenschaft besitzt, dass es zwei verschiedene Primideale $\mathfrak q$ und $\mathfrak q'$ in $A_D$ gibt, die beide über dem gleichen Primideal
\mathl{{\mathfrak p} \subset \Z[\sqrt{D}]}{} liegen. Was ist
\mathl{{\mathfrak p} \cap \Z}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{} $A_D$ mit negativem $D$ sämtliche \definitionsverweis {Einheiten}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{1}
{

Zeige, dass in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{\Z[\sqrt{7}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Element
\mathl{8+ 3 \sqrt{7}}{} eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass $2$ im Ring
\mathl{{\mathbb Z}[\sqrt{5}]}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {prim}{}{} ist. Wie sieht es in $A_5$ aus?

}
{} {}