Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 3/kontrolle

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde einen Primfaktor der Zahl ${}2^{25}+1$.

Aufgabe (2 Punkte)Aufgabe 3.2 ändern

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige, dass

${}{\binom {p}{k}}\equiv 0\mod p\,$

für alle ${}k=1,\ldots ,p-1$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}{\mathbb {Z} }[{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}35+18{\mathrm {i} }$ und ${}8+11{\mathrm {i} }$.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Wende auf zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen den euklidischen Algorithmus an. Welche Gesetzmäßigkeit tritt auf?

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}{\mathbb {F} }_{5}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}P=X^{4}+3X^{3}+X^{2}+4X+2$ und ${}Q=2X^{3}+4X^{2}+X+3$.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Die Beschreibungsseite des folgenden Bildes behauptet, etwas mit dem euklidischen Algorithmus zu tun zu haben. Erläutere dies. Welche Eigenschaften des euklidischen Algorithmus sind in dem Bild sichtbar? Beweise diese Eigenschaften des Algorithmus.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}r$ und ${}s$ teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede Lösung ${}(x,y)$ der Gleichung

${}rx+sy=0\,$

die Gestalt ${}(x,y)=v(s,-r)$ mit einer eindeutig bestimmten Zahl ${}v$ besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige durch ein Beispiel, dass die in Aufgabe ***** {{:Kurs:Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Teilbarkeitslehre (Z)/Teilerfremd/Erste Relation/Aufgabe/Aufgabereferenznummer/Teilbarkeitslehre (Z)/Teilerfremd/Erste Relation/Aufgabe/Aufgabereferenznummer}} bewiesene Aussage ohne die Voraussetzung teilerfremd nicht stimmt.

In der folgenden Aufgabe wird der Logarithmus verwendet. Für Eigenschaften dieser Funktion, die aus der Anfängervorlesung bekannt ist, siehe das Merkblatt.

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ als ${}\mathbb {Q}$-Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen ${}\ln p$, wobei ${}p$ durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist. Bleibt das Ergebnis gültig, wenn man den natürlichen Logarithmus ${}\ln$ durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt?

Aufgabe (3 (2+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}r\in \mathbb {N}$.

a) Finde ${}r$ aufeinander folgende natürliche Zahlen (also ${}n,n+1,\ldots ,n+r-1$), die alle nicht prim sind.

b) Finde unendlich viele solcher primfreien ${}r$-„Intervalle“.