Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Definitionsabfrage
Ein Monoid ist eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung
und einem ausgezeichneten Element derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.
- Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt
für alle .
- ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt
für alle .
Ein Monoid heißt Gruppe, wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem ein mit gibt.
Eine Gruppe heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also für alle gilt.
Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
Ein Ring ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen und und mit zwei ausgezeichneten Elementen und derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
- ist eine abelsche Gruppe.
- ist ein Monoid.
- Es gelten die Distributivgesetze, also und für alle .
Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
Es sei ein kommutativer Ring, und Elemente in . Man sagt, dass das Element teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es ein derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .
Ein Element in einem kommutativen Ring heißt Einheit, wenn es ein Element mit gibt.
Zwei Elemente und eines kommutativen Ringes heißen assoziiert, wenn es eine Einheit derart gibt, dass ist.
Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ein Produkt mit , so teilt einen der Faktoren.
Ein kommutativer, nullteilerfreier, von verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
Ein kommutativer Ring heißt Körper, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.
Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- .
- Für alle ist auch .
- Für alle und ist auch .
Zu einer Familie von Elementen , , in einem kommutativen Ring bezeichnet das von den erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen
wobei eine endliche Teilmenge und ist.
Ein Ideal in einem kommutativen Ring der Form
heißt Hauptideal.
Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring. Ein integrer Hauptidealring heißt Hauptidealbereich.
Es sei ein kommutativer Ring und . Dann heißt ein Element gemeinsamer Teiler der , wenn jedes teilt (). Ein Element heißt größter gemeinsamer Teiler der , wenn ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler dieses teilt.
Die Elemente heißen teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler ist.
Ein euklidischer Bereich (oder euklidischer Ring) ist ein Integritätsbereich , für den eine Abbildung existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:
Für Elemente mit gibt es mit
Es seien Elemente (mit ) eines euklidischen Bereichs mit euklidischer Funktion gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen und und die mittels der Division mit Rest
rekursiv bestimmte Folge die Folge der euklidischen Reste.
Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
- Jedes irreduzible Element in ist prim.
- Jedes Element , , ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.
Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet die Anzahl der Elemente von . Man nennt die Eulersche Funktion.
Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.
Es seien kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt
versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der , .
Der Exponent einer endlichen Gruppe ist die kleinste positive Zahl mit der Eigenschaft, dass für alle ist.
Eine Einheit heißt primitiv (oder eine primitive Einheit), wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.
Eine ganze Zahl heißt quadratischer Rest modulo , wenn es eine Zahl mit
gibt. Im anderen Fall heißt ein nichtquadratischer Rest modulo .
Für eine ungerade Primzahl und eine zu teilerfremde Zahl definiert man das Legendre-Symbol, geschrieben (sprich „ nach “), durch
Für eine ungerade Zahl und eine ganze Zahl definiert man das Jacobi-Symbol, geschrieben ( nach ), wie folgt. Es sei die Primfaktorzerlegung von . Dann setzt man
Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige Lösung der diophantischen Gleichung
Es heißt primitiv, wenn keinen gemeinsamen Teiler besitzen.
{{:Riemannsche -Funktion|}}
Die für definierte Funktion
heißt Primzahlfunktion.
Die erste Tschebyschow-Funktion ist durch
gegeben.
Eine Primzahl der Form heißt Mersennesche Primzahl.
Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet man die Summe aller natürlichen Teiler von als , also
Eine natürliche Zahl heißt vollkommen, wenn sie mit der Summe all ihrer von verschiedenen Teiler übereinstimmt.
Eine natürliche Zahl heißt defizient, wenn die Summe der Teiler kleiner als ist.
Eine natürliche Zahl heißt abundant, wenn die Summe der Teiler größer als ist.
Eine natürliche abundante Zahl heißt sonderbar, wenn sie nicht als eine Teilsumme von ihren echten Teilern darstellbar ist.
Zwei verschiedene natürliche Zahlen und heißen befreundet, wenn gleich der Summe der echten Teiler von ist und umgekehrt.
Eine Primzahl der Form , wobei eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.
Eine Zahl der Form , wobei eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.
Eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass auch eine Primzahl ist, heißt Sophie-Germain-Primzahl.
Eine natürliche Zahl heißt quasiprim zur Basis , wenn modulo gilt.
Eine natürliche Zahl , die nicht prim ist, und die die Eigenschaft besitzt, dass für jede zu teilerfremde ganze Zahl
gilt, heißt Carmichael-Zahl.
Zu einem Integritätsbereich ist der Quotientenkörper als die Menge der formalen Brüche
mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.
Es seien und kommutative Ringe und sei ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man eine -Algebra.
Es sei ein Körper und eine kommutative - Algebra. Es sei ein Element. Dann heißt algebraisch über , wenn es ein von verschiedenes Polynom mit gibt.
Es sei ein Körper und eine - Algebra. Es sei ein über algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom mit , welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von .
Eine komplexe Zahl heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen ist. Andernfalls heißt sie transzendent.
Es sei ein Körper und ein Unterkörper von . Dann heißt ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von und die Inklusion heißt eine Körpererweiterung.
Eine Körpererweiterung heißt endlich, wenn ein endlichdimensionaler Vektorraum über ist.
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die - Vektorraumdimension von den Grad der Körpererweiterung.
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element nennt man die Determinante der - linearen Abbildung
die Norm von . Sie wird mit bezeichnet.
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element nennt man die Spur der - linearen Abbildung
die Spur von . Sie wird mit bezeichnet.
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt separabel, wenn für jedes Element das Minimalpolynom separabel ist, also in keinem Erweiterungskörper eine mehrfache Nullstelle besitzt.
Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und seien Elemente in . Dann wird die Diskriminante von durch
definiert.
Es sei ein kommutativer Ring und eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt einen -Modul, wenn eine Operation
(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien und beliebig):
- ,
- ,
- ,
- .
Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Eine Teilmenge heißt -Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ist und wenn für jedes und auch ist.
Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Eine Familie , , heißt Erzeugendensystem für , wenn es für jedes Element eine Darstellung
gibt, wobei endlich ist und .
Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Der Modul heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem , , für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).
Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Primideal, wenn ist und wenn für mit folgt: oder .
Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt maximales Ideal, wenn ist und wenn es zwischen und keine weiteren Ideale gibt.
Es seien und kommutative Ringe und sei eine Ringerweiterung. Für ein Element heißt eine Gleichung der Form
wobei die Koeffizienten , zu gehören, eine Ganzheitsgleichung für .
Es seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Ein Element heißt ganz (über ), wenn eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus erfüllt.
Es seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente , die ganz über sind, den ganzen Abschluss von in .
Es seien und kommutative Ringe und sei eine Ringerweiterung. Dann heißt ganz über , wenn jedes Element ganz über ist.
Es seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Man nennt ganz-abgeschlossen in , wenn der ganze Abschluss von in gleich ist.
Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.
Es sei ein Integritätsbereich und sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von in die Normalisierung von .
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man den ganzen Abschluss von in den Ring der ganzen Zahlen in . Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche.
Ein kommutativer Ring heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
Einen Integritätsbereich nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von verschiedene Primideal darin maximal ist.
Es sei der Zahlbereich zur endlichen Körpererweiterung . Dann nennt man die Diskriminante einer Ganzheitsbasis von die Diskriminante von (und die Diskriminante von ).
Es sei eine Primzahl und . Der aufgrund von Satz 19.7 bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte endliche Körper mit Elementen wird mit
bezeichnet.
Ein quadratischer Zahlbereich ist der Ring der ganzen Zahlen in einem Erweiterungskörper von vom Grad .
Eine ganze Zahl heißt quadratfrei, wenn jeder Primfaktor von ihr nur mit einem einfachen Exponenten vorkommt.
Es sei quadratfrei und sei der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann heißt reell-quadratisch, wenn positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn negativ ist.
Es sei eine quadratfreie Zahl und sei die zugehörige quadratische Körpererweiterung und der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann wird der Automorphismus (auf , auf und auf )
als Konjugation bezeichnet.
Es sei quadratfrei und der zugehörige quadratische Zahlbereich. Es sei ein von verschiedenes Ideal in . Dann nennt man die (endliche) Anzahl des Restklassenringes die Norm von . Sie wird mit
bezeichnet.
Es sei ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften
- ,
- Wenn , dann ist auch ,
gelten.
Es sei ein Integritätsbereich und sei ein multiplikatives System, . Dann nennt man den Unterring
die Nenneraufnahme zu .
Es sei ein Integritätsbereich und sei ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an die Lokalisierung von an . Man schreibt dafür . Es ist also
Ein kommutativer Ring heißt lokal, wenn genau ein maximales Ideal besitzt.
Ein diskreter Bewertungsring ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in gibt.
Zu einem Element , in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement heißt die Zahl mit der Eigenschaft , wobei eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von . Sie wird mit bezeichnet.
Es sei ein Zahlbereich und , . Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal in die Ordnung zuordnet, der durch definierte Hauptdivisor. Er wird mit bezeichnet und als formale Summe
geschrieben.
Es sei ein Zahlbereich, ein Primideal in und , . Dann heißt die Ordnung im diskreten Bewertungsring die Ordnung von am Primideal (oder an der Primstelle oder in ). Sie wird mit bezeichnet.
Es sei ein Zahlbereich. Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe
die sich über alle Primideale aus erstreckt und wobei natürliche Zahlen sind mit für fast alle .
Es sei ein Zahlbereich und ein von verschiedenes Ideal in . Dann nennt man den Divisor
mit
den Divisor zum Ideal .
Es sei ein Zahlbereich und
ein effektiver Divisor (wobei durch die Menge der Primideale läuft). Dann nennt man
das Ideal zum Divisor . Es wird mit bezeichnet.
Es sei ein Zahlbereich. Ein Divisor ist eine formale Summe
die sich über alle Primideale aus erstreckt und wobei ganze Zahlen mit für fast alle sind.
Es sei ein Zahlbereich und , . Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal in die Ordnung zuordnet, der durch definierte Hauptdivisor. Er wird mit bezeichnet und als formale Summe
geschrieben.
Es sei ein Zahlbereich mit Quotientenkörper . Dann nennt man einen endlich erzeugten - Untermodul des - Moduls ein gebrochenes Ideal.
Es sei ein Zahlbereich mit Quotientenkörper . Dann nennt man ein gebrochenes Ideal der Form mit ein gebrochenes Hauptideal.
Es sei ein Zahlbereich mit Quotientenkörper . Dann definiert man für gebrochene Ideale und das Produkt als den von allen Produkten erzeugten -Untermodul von , also
wobei die Produkte in zu nehmen sind.
Es sei ein Zahlbereich und
ein Divisor (wobei durch die Menge der Primideale läuft). Dann nennt man
das gebrochene Ideal zum Divisor . Es wird mit bezeichnet.
Es sei ein Zahlbereich und ein von verschiedenes gebrochenes Ideal. Dann nennt man den Divisor
mit
den Divisor zum gebrochenen Ideal .
Es sei ein Zahlbereich. Es sei die Gruppe der Divisoren und sei die Untergruppe der Hauptdivisoren. Dann nennt man die Restklassengruppe
die Divisorenklassengruppe von .
Es sei quadratfrei und der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann heißt normeuklidisch, wenn die Normfunktion auf eine euklidische Funktion ist.
Es seien linear unabhängige Vektoren im . Dann heißt die Untergruppe ein Gitter im .
Eine Teilmenge heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form
ebenfalls zu gehört.
Zu einer Teilmenge heißt die kleinste konvexe Teilmenge , die umfasst, die konvexe Hülle von .
Zu einem durch linear unabhängige Vektoren gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren mit als die Grundmasche (oder Fundamentalmasche) des Gitters.
Eine Teilmenge heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt auch der Punkt zu gehört.
Ein topologischer Raum heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung
eine endliche Teilmenge derart gibt, dass
ist.
Es sei ein quadratischer Zahlbereich. Dann nennt man die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von die Klassenzahl von .