Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Einige Aufgaben mit Lösungen
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .
Lösung:
Der Euklidische Algorithmus liefert:
Die Zahlen und sind also teilerfremd.
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .
Lösung:
Wir setzen und und führen die Division mit Rest durch durch. Es ist (in )
Für diese Zahl ist eine beste ganzzahlige Approximation, wir nehmen also und erhalten . Wir drehen also die Sache um und erhalten
Das Ergebnis ist also eine ganze Gaußsche Zahl, und teilt daher . Also ist der größte gemeinsame Teiler.
Bestimme in die Primfaktorzerlegung von . Begründe, warum die Faktoren prim sind.
Lösung:
Wir haben
Beide Primfaktoren der Norm haben also den Rest modulo und sind damit zerlegt im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen. Es ist und , und diese Faktoren sind prim nach Satz 9.1. Die Primfaktorzerlegung von muss also (bis auf eine Einheit) aus einem Primfaktor von und einem Primfaktor von bestehen.
Die eine Möglichkeit ist
die aber nicht zu assoziiert ist. Die andere Möglichkeit ist
die die gesuchte Primfaktorzerlegung ist.
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
Lösung:
Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
Also ist ein Quadratrest modulo .
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
Lösung:
= | hat modulo den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
| |
= | Reduktion des Zählers.
| |
= | ||
= | Vorne steht ein Quadrat. hat modulo den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
| |
= | Reduktion des Zählers.
| |
= | und haben beide modulo den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
| |
= | Reduktion des Zählers.
| |
= | ||
= | Vorne steht ein Quadrat. und haben beide modulo den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
| |
= | Reduktion des Zählers.
| |
= | , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz kein Quadratrest modulo .
|
Es sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne den Hauptdivisor zu
Lösung:
- .
Der Nenner ist . Die Zerlegung für diese Primzahlen ist:
Modulo .
- .
Das Polynom hat keine Nullstelle über , also ist es irreduzibel und es liegt ein Körper vor. Daher ist ein Primideal in .
Modulo .
- .
Das Polynom ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal vor. Diesem Primideal entspricht in das Primideal . Es gilt die Idealzerlegung in .
Für den Zähler betrachten wir die Norm, also
- .
Wir berechnen wieder die Idealzerlegung der beteiligten Primfaktoren.
Modulo .
- .
Das Polynom ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal vor. Diesem Primideal entspricht in das Primideal . Es gilt die Idealzerlegung in .
Modulo .
- .
Das Polynom ist nicht irreduzibel, es hat die beiden Nullstellen und , und die Zerlegung . Damit gibt es die beiden Primideale und , die den beiden konjugierten Primidealen und entsprechen.
Damit ist
- .
Die doppelt auftretenden Primideale verteilen sich (aus Symmetriegründen) auf die beiden Faktoren. In kann man schreiben, sodass zu gehört, und man erhält
- .
Damit ist der Hauptdivisor gleich
- .