Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 3/latex
\setcounter{section}{3}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Euklid-von-Alexandria_1.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Euklid (4. Jahrhundert v. C.)} }
\bildlizenz { Euklid-von-Alexandria 1.jpg } {} {Luestling} {Commons} {PD} {http://www.bath.ac.uk/~ma1dp/Biography.html}
\zwischenueberschrift{Der euklidische Algorithmus}
\inputdefinition
{}
{
Es seien Elemente
\mathl{a,b}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{b \neq 0}{}} {} {}
eines
\definitionsverweis {euklidischen Bereichs}{}{}
$R$ mit euklidischer Funktion $\delta$ gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen
\mathl{r_0= a}{} und
\mathl{r_1= b}{} und die mittels der Division mit Rest
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r_{i}
}
{ =} {q_i r_{i+1} + r_{i+2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
rekursiv bestimmte Folge $r_i$ die \definitionswort {Folge der euklidischen Reste}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Algorithmus (Bereiche)/ggT/Invarianz/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es seien zwei Elemente
\mathl{r_0= a, r_1= b \neq 0}{} eines
\definitionsverweis {euklidischen Bereiches}{}{}
$R$ mit euklidischer Funktion $\delta$ gegeben. Dann besitzt die Folge $r_i$,
\mathl{i=0,1,2, \ldots}{,} der
\definitionsverweis {euklidischen Reste}{}{}
folgende Eigenschaften.
\aufzaehlungvier{Es ist
\mathl{r_{i+2} =0 \text{ oder } \delta(r_{i+2}) < \delta(r_{i+1})}{.}
}{Es gibt ein
\zusatzklammer {minimales} {} {}
\mathl{k \geq 2}{} mit
\mathl{r_k= 0}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ggT} (r_{i+1},r_{i})
}
{ =} { \operatorname{ggT} (r_{i},r_{i-1})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es sei
\mathl{k \geq 2}{} der erste Index derart, dass
\mathl{r_k= 0}{} ist. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ggT} (a,b)
}
{ =} {r_{k-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{
\aufzaehlungvier{Dies folgt unmittelbar aus der Definition der Division mit Rest.
}{Solange
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_i
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wird die Folge der natürlichen Zahlen
\mathl{\delta(r_i)}{} immer kleiner, sodass irgendwann der Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eintreten muss.
}{Wenn $t$ ein gemeinsamer Teiler von
\mathl{r_{i+1}}{} und von $r_{i+2}$ ist, so zeigt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r_{i}
}
{ =} {q_i r_{i+1} + r_{i+2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dass $t$ auch ein Teiler von $r_i$ und damit ein gemeinsamer Teiler von
\mathl{r_{i+1}}{} und von $r_{i}$ ist. Die Umkehrung folgt genauso.
}{Dies folgt aus (3) mit der Gleichungskette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ggT} (a,b)
}
{ =} { \operatorname{ggT} (b,r_2)
}
{ =} { \operatorname{ggT} (r_2,r_3)
}
{ =} { \ldots
}
{ =} { \operatorname{ggT} (r_{k-2},r_{k-1} )
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { \operatorname{ggT} (r_{k-1},r_{k} )
}
{ =} { \operatorname{ggT} (r_{k-1},0)
}
{ =} { r_{k-1}
}
{ } {}
}{}{.}
}
Als Beispiel zum Euklidischen Algorithmus lösen wir die folgende Aufgabe.
\inputaufgabeloesungvar{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $1071$ und $1029$.
} {
Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 wird mit dem Euklidischen Algorithmus wie folgt berechnet:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1071
}
{ =} {1 \cdot 1029 + 42
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1029
}
{ =} {24 \cdot 42 + 21
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{42
}
{ =} {2 \cdot 21 + 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 ist somit 21.
}
Für ein weiteres Beispiel siehe hier.
\inputaufgabeloesungvar{
Bestimme in
\mathl{{\Z}[{ \mathrm i}]}{} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathl{7+4{ \mathrm i}}{} und
\mathl{5+3{ \mathrm i}}{.}
} {
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ 7+4 { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{5+3 { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und führen die Division mit Rest
\mathl{a/b}{} durch. Es ist
\zusatzklammer {in ${\mathbb C}$ oder in
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{a}{b}
}
{ =} {\frac{7+4 { \mathrm i} }{5+3 { \mathrm i} }
}
{ =} {\frac{(7+4 { \mathrm i} )(5-3 { \mathrm i} )}{(5+3{\mathrm i})(5-3 { \mathrm i} )}
}
{ =} {\frac{47- { \mathrm i} }{34}
}
{ =} {\frac{47}{34} - \frac{1}{34} { \mathrm i}
}
}
{}{}{.}
Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist $1$, sodass die Division mit Rest ergibt:
\mathdisp {a=1 \cdot b+r \text{ mit } r= a-b= 2+ { \mathrm i}} { . }
Die nächste durchzuführende Division ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{b}{r}
}
{ =} { \frac{5+3 { \mathrm i} }{2+{ \mathrm i} }
}
{ =} { \frac{(5+3 { \mathrm i} )(2-{ \mathrm i})}{(2+ { \mathrm i} )(2- { \mathrm i} )}
}
{ =} { \frac{13+{ \mathrm i} }{5}
}
{ =} { \frac{13}{5} + \frac{1}{5} { \mathrm i}
}
}
{}{}{.}
Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist $3$, sodass die Division mit Rest ergibt:
\mathdisp {b=3 \cdot r +s \text{ mit } s= b-3r =5+3 { \mathrm i} -3(2+ { \mathrm i} )= -1} { . }
Da dies eine Einheit ist, sind
\mathkor {} {a = 7+4{ \mathrm i}} {und} {b = 5+3{ \mathrm i}} {}
teilerfremd.
}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealring}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gilt:}
\faktfolgerung {Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler $d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} darstellen, d.h. es gibt Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_1 , \ldots , r_n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_1a_1+r_2a_2 + \cdots + r_na_n
}
{ = }{ d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} eine Darstellung der $1$.}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element $d$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ (d)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir behaupten, dass $d$ ein
\definitionsverweis {größter gemeinsamer Teiler}{}{}
der
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} ist. Die Inklusionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a_i)
}
{ \subseteq }{ I
}
{ = }{ (d)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeigen, dass es sich um einen
\definitionsverweis {gemeinsamen Teiler}{}{}
handelt. Es sei $e$ ein weiterer gemeinsamer Teiler der
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{.} Dann ist wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (d)
}
{ = }{ I
}
{ \subseteq }{(e)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was wiederum
\mathl{e {{|}} d}{} bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ I
}
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Im teilerfremden Fall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n)
}
{ = }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien $a$ und $b$
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.
}
{
Da
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
teilerfremd sind, gibt es nach
dem Lemma von Bezout
Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ra+sb
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Voraussetzung, dass $a$ das Produkt $bc$ teilt, schreiben wir als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{bc
}
{ = }{da
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} {c1
}
{ =} {c(ra+sb)
}
{ =} {cra +csb
}
{ =} {acr +ads
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {a(cr+ds)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,}
was zeigt, dass $c$ ein Vielfaches von $a$ ist.
\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Dann ist ein Element genau dann
\definitionsverweis {prim}{}{,}}
\faktfolgerung {wenn es
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach
Lemma 1.15
stets irreduzibel. Es sei also umgekehrt $p$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass $p$ das Produkt $ab$ teilt, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{pc
}
{ = }{ab
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nehmen wir an, dass $a$ kein Vielfaches von $p$ ist. Dann sind aber $a$ und $p$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (p)
}
{ \subset }{ (p,a)
}
{ = }{(d)
}
{ \subset }{ R
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Irreduzibilität von $p$ widerspricht. Damit teilt $p$ nach
dem Lemma von Euklid
den anderen Faktor $b$.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Produkt irreduzibel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
In einem
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
lässt sich jede
\definitionsverweis {Nichteinheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als ein Produkt von
\definitionsverweis {irreduziblen}{}{} Elementen darstellen.
}
{
Angenommen, jede Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ p_1 \cdots p_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette
\mathl{a_1 =a, a_2, a_3, \ldots}{,} wobei
\mathl{a_{n+1}}{} ein nicht-trivialer Teiler von $a_n$ ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a_1)
}
{ \subset} { (a_2)
}
{ \subset} { (a_3)
}
{ \subset} { \cdots
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Vereinigung dieser Ideale ist aber nach
Aufgabe *****
ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.
\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Ist faktoriell (ohne Begriff)/Fakt}
{Satz}
{}
{
In einem
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
lässt sich jede
\definitionsverweis {Nichteinheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
darstellen als Produkt von
\definitionsverweis {Primelementen}{}{.}
Diese Darstellung ist eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit. Wählt man aus jeder Assoziiertheitsklasse von Primelementen einen festen Repräsentanten $p$, so gibt es eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Darstellung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ u \cdot p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $u$ eine Einheit ist und die $p_i$ Repräsentanten sind.
}
{
Die erste Aussage folgt direkt aus Lemma 3.6 und Satz 3.5.
Die behauptete Eindeutigkeit bis auf Umordnung bedeutet, dass wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { u \cdot p_1 \cdots p_k
}
{ =} { v \cdot q_1 \cdots q_m
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zwei Primfaktorzerlegungen sind, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und es eine Permutation $\tau$ auf
\mathl{\{ 1 , \ldots , k \}}{} gibt derart, dass $p_i$ und $q_{\tau(i)}$ assoziiert sind für alle
\mathl{i \in \{ 1 , \ldots , k \}}{.} Wir beweisen diese Aussage durch Induktion über $k$. Es sei zuerst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {das sei zugelassen} {} {.}
Dann steht links eine Einheit, also muss auch rechts eine Einheit stehen, was
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet.
Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Aussage sei für alle kleineren $k$ bewiesen. Die Gleichung $(*)$ bedeutet insbesondere, dass $p_k$ das Produkt rechts teilt. Da $p_k$ prim ist, muss $p_k$ nach
dem Lemma von Euklid
einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung kann man annehmen, dass $q_m$ von $p_k$ geteilt wird. Da $q_m$ ebenfalls prim ist, sind $q_m$ und $p_k$ assoziiert. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q_m
}
{ =} {wp_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer Einheit $w$ und man kann die Gleichung $(*)$ nach $p_k$ kürzen und erhält
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u \cdot p_1 \cdots p_{k-1}
}
{ =} { (vw) \cdot q_1 \cdots q_{m-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Induktionsvoraussetzung liefert dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k-1
}
{ = }{m-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dass jedes $p_i$ zu einem $q_j$ assoziiert ist.
Diesen Satz kann man auch so ausdrücken, dass Hauptidealbereiche faktoriell sind im Sinne der folgenden Definition. Für solche Bereiche gilt ganz allgemein, dass die Primfaktorzerlegung eindeutig ist.
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
heißt \definitionswort {faktorieller Bereich}{,} wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {Jedes
\definitionsverweis {irreduzible Element}{}{}
in $R$ ist
\definitionsverweis {prim}{}{.}
} {Jedes Element
\mathbed {a \in R} {}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {,}
ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.
}
}
\inputfaktbeweis
{Zahlentheorie (Z)/Z ist faktoriell/Fakt}
{Korollar}
{}
{
Jede positive natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
}
{
Dies folgt sofort aus Satz 3.7.
\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt}
{Korollar}
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
und seien $a$ und $b$ zwei Elemente $\neq 0$ mit Primfaktorzerlegungen
\mathdisp {a = u \cdot p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k} \mbox{ und } b = v \cdot p_1^{s_1}\cdot p_2^{s_2} \cdots p_k^{s_k}} { }
\zusatzklammer {wobei die Exponenten auch $0$ sein können und $u,v$ Einheiten sind} {} {.}
Dann gilt
\mathl{a {{|}} b}{} genau dann, wenn
\mathl{r_i \leq s_i}{} ist für alle Exponenten
\mathl{i=1, \ldots ,k}{.}
}
{
Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_i -r_i
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und man kann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} { a { \left( vu^{-1} p_1^{s_1-r_1} \cdots p_k^{s_k-r_k} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben, was die Teilbarkeit bedeutet. Die Umkehrung folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in Hauptidealbereichen
\zusatzklammer {siehe
Satz 3.7} {} {.}
\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
\aufzaehlungdrei{$p$ ist ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{.}
}{
\mathl{R/(p)}{} ist ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}
}{
\mathl{R/(p)}{} ist ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
}
}
{
Die Äquivalenz (1) $\Leftrightarrow$ (2) gilt in jedem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
\zusatzklammer {auch für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{p
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {,}
siehe
Aufgabe *****,
und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{R/(p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in $R$ ebenfalls mit $a$. Es ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \notin }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es ergibt sich eine echte Idealinklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(p)
}
{ \subset }{(a,p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ferner können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,p)
}
{ = }{ (b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{cb
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $c$ keine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist und $p$ prim
\zusatzklammer {also nach
Lemma 1.15
auch irreduzibel} {} {}
ist, muss $b$ eine Einheit sein. Es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,p)
}
{ = }{ (1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und das bedeutet modulo $p$, also in
\mathl{R/(p)}{,} dass $a$ eine Einheit ist. Also ist
\mathl{R/(p)}{} ein Körper.