Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 14/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für alle ${}n\leq 30$, ob das regelmäßige ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist oder nicht.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe eine Liste aller natürlichen Zahlen ${}n$ zwischen ${}100$ und ${}200$ mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche der Winkel

$1^{\circ },\,2^{\circ },\,3^{\circ },\,4^{\circ },\ldots ,10^{\circ }$

sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche der Winkel

$10^{\circ },\,20^{\circ },\,30^{\circ },\,40^{\circ },\ldots ,350^{\circ }$

sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Finde die kleinste Zahl ${}n\geq 100$ derart, dass zugleich das reguläre ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass ${}n$ eine Summe von zwei Quadraten ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine Sophie-Germain-Primzahl und ${}q=2p+1$. Es sei ${}a$ gegeben mit ${}2\leq a\leq q-2$. Zeige, dass ${}a$ genau dann eine primitive Einheit modulo ${}q$ ist, wenn es kein Quadratrest modulo ${}q$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine Sophie-Germain-Primzahl, ${}q=2p+1$. Zeige, dass ${}q$ ein Teiler von ${}M_{p}+2=2^{p}+1$ genau dann ist, wenn ${}q=\pm 3\mod 8$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige: Für eine Primzahl ${}p$ ist die Mersennesche Zahl ${}M_{p}$ quasiprim zur Basis ${}2$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ${}1105$ und ${}1729$ Carmichael-Zahlen sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine Primzahl ${}>3$ mit der Eigenschaft, dass auch ${}2p-1$ und ${}3p-2$ prim sind. Zeige, dass dann

$n=p(2p-1)(3p-2)$

eine Carmichael-Zahl ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.

Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine Sophie-Germain-Primzahl. Zeige, dass ${}2$ eine Primitivwurzel modulo ${}q=2p+1$ ist genau dann, wenn ${}p=1\mod 4$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}n$ eine Carmichael-Zahl. Zeige, dass ${}n$ ungerade und mindestens drei Primfaktoren besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass das Potenzieren

$\mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(n),\,a\longmapsto a^{n},$

genau dann die Identität ist, wenn ${}n$ eine Primzahl, eine Carmichael-Zahl oder gleich ${}1$ ist.