Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 13

Übungsaufgaben

Aufgabe

Eine natürliche Zahl ${}n$ ist genau dann vollkommen, wenn die Stammbruchsummenbedingung

$\sum _{d{|}n,\,d\neq 1}{\frac {1}{d}}=1$

gilt. Schreibe für einige vollkommene Zahlen die Stammbruchsumme hin.

Aufgabe

Es sei ${}n$ eine gerade vollkommene Zahl. Berechne die eulersche Funktion ${}{\varphi (n)}$.

In den folgenden Aufgaben werden einige Begriffe verwendet, die mit dem Begriff der vollkommenen Zahl in Verbindung stehen.

Eine natürliche Zahl ${}n$ heißt defizient, wenn die Summe der Teiler kleiner als ${}2n$ ist.

Eine natürliche Zahl ${}n$ heißt abundant, wenn die Summe der Teiler größer als ${}2n$ ist.

Eine natürliche abundante Zahl heißt sonderbar, wenn sie nicht als eine Teilsumme von ihren echten Teilern darstellbar ist.

Aufgabe

Zeige: eine Primzahlpotenz ${}p^{r}$ ist defizient.

Aufgabe

Es sei ${}n>6$ ein Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen. Zeige, dass dann ${}n$ defizient ist.

Aufgabe

Zeige ohne Verwendung der Regel von Thabit, dass die beiden Zahlen ${}220$ und ${}284$ befreundet sind.

Aufgabe

Ergänze die folgende Tabelle um weitere Zeilen.

${}k$	${}a=3\cdot 2^{k-1}-1$	${}b=3\cdot 2^{k}-1$	${}c=9\cdot 2^{2k-1}-1$	${}m=2^{k}ab$	${}n=2^{k}c$
${}2$	${}5$	${}11$	${}71$	${}220$	${}284$
${}3$	${}11$	${}23$	${}287=7\cdot 41{\text{ (nicht prim)}}$	${}\,$	${}\,$
${}4$	${}23$	${}47$	${}1151$	${}17296$	${}18416$
${}5$	${}47$	${}95$	${}4607=17\cdot 271{\text{ (nicht prim)}}$	${}\,$	${}\,$
${}6$	${}95=5\cdot 19{\text{ (nicht prim)}}$	${}191$	${}18431=7\cdot 2633{\text{ (nicht prim)}}$	${}\,$	${}\,$
${}7$	${}191$	${}383$	${}73727$	${}9363584$	${}9437056$

Aufgabe

Zeige, dass die zahlentheoretische Möbius-Funktion multiplikativ ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine zahlentheoretische multiplikative Funktion durch ihre Werte an Primzahlpotenzen festgelegt ist.

Aufgabe

Zeige, dass für die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen die folgenden Aussagen gelten.

1. Die Faltung ist eine kommutative und assoziative Verknüpfung.
2. Die Faltungseinheit ${}I$ ist das neutrale Element der Verküpfung.
3. Es ist

   ${}U*\mu =I\,.$

Aufgabe

Zeige

${}U*U=T\,,$

wobei ${}T$ die Teileranzahlfunktion bezeichnet.

Aufgabe

Zeige, dass eine zahlentheoretische Funktion ${}f\colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$ genau dann invertierbar bezüglich der Faltung ist, wenn

${}f(1)\neq 0\,$

ist.

In den folgenden Aufgaben bezeichnet ${}E\colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$ die Abbildung mit ${}E(n)=n$ für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Aufgabe

Zeige, dass zwischen der Möbius-Funktion ${}\mu$, der Identität ${}E$ und der eulerschen ${}\varphi$- Funktion die Beziehung

${}\mu *E=\varphi \,$

besteht.

Aufgabe

Zeige, dass zwischen den zahlentheoretischen Funktionen ${}U,E,\sigma$ die Beziehung

${}U*E=\sigma \,$

besteht.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der zahlentheoretischen Funktionen mit der komponentenweisen Addition und der Faltung einen kommutativen Ring bildet.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen

$2^{33}-1,\,2^{91}-1,\,2^{13}+1.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}n$ eine gerade vollkommene Zahl, ${}n\neq 6$. Zeige, dass ${}n$ die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Kubikzahlen ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n$ eine ungerade Zahl mit der Eigenschaft, dass in ihrer Primfaktorzerlegung nur zwei verschiedene Primfaktoren vorkommen. Zeige, dass dann ${}n$ defizient ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine ungerade abundante Zahl ${}n$.

Aufgabe (3 Punkte)

Finde die kleinste sonderbare Zahl.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Quotient

${\frac {\sigma (n)}{n}}$

unbeschränkt ist.