Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 13

Mersenne-Primzahlen

Marin Mersenne (1588-1648)

Definition

Eine Primzahl der Form ${}2^{n}-1$ heißt Mersennesche Primzahl.

Generell nennt man die Zahl ${}M_{n}=2^{n}-1$ die ${}n$-te Mersenne-Zahl. Mit dieser Bezeichnung sind die Mersenne-Primzahlen genau diejenigen Mersenne-Zahlen, die Primzahlen sind. Eine Mersenne-Zahl besitzt im Zweiersystem die Ziffernentwicklung ${}11111\ldots 1111$. Das ist auch die Anzahl der Spiele in einem im K.-o.-System ausgetragenen Pokalwettbewerb mit ${}2^{n}$ Mannschaften.

Lemma

Ist ${}2^{n}-1$ eine Primzahl, so ist auch ${}n$ eine Primzahl.

Beweis

Es sei eine Darstellung ${}n=ab$ mit natürlichen Zahlen ${}a,b$ gegeben. Wir setzen in der polynomialen Identität

${}X^{k}-1=(X-1)(X^{k-1}+X^{k-2}+\cdots +X+1)\,$

${}X=2^{a}$ und ${}k=b$ ein und erhalten, dass ${}2^{a}-1{|}2^{n}-1$. Da ${}2^{n}-1$ als prim vorausgesetzt wurde, folgt ${}2^{a}-1=1$ oder ${}2^{a}-1=2^{n}-1$, also ${}a=1$ oder ${}a=n$.

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Bemerkung  

Die Mersenne-Zahl ${}M_{n}=2^{n}-1$ hat im Dualsystem eine Entwicklung, die aus genau ${}n$ Einsen besteht. Die ersten Mersenne-Primzahlen sind

$2^{2}-1=3,2^{3}-1=7,2^{5}-1=31,2^{7}-1=127.$

Die Zahl ${}2^{11}-1=2047=23\cdot 89$ ist die erste Mersenne-Zahl, wo der Exponent zwar prim ist, die aber selbst keine Mersenne-Primzahl ist. Dies wurde 1536 von Hudalrichus Regius (Walter Hermann Ryff) gezeigt. Der nächste Kandidat, nämlich ${}2^{13}-1=8191$, ist wieder prim. Bis ca. 1950 war bekannt, dass für die Exponenten

$2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107{\text{ und }}127$

Mersenne-Primzahlen vorliegen, und keine weiteren unterhalb des Exponenten ${}258$. Von verschiedenen Leuten, unter anderem von Cataldi und Mersenne selbst, wurden falsche Behauptungen aufgestellt. Ab ca. 1950 kamen Computer zum Bestimmen von Mersenne-Primzahlen zum Einsatz, und es wurden bisher insgesamt ${}49$ Mersenne-Primzahlen gefunden. Die größte ist

$2^{74207281}-1.$

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt.

Alle größten bekannten Primzahlen sind Mersenne-Zahlen. Das liegt daran, dass es für diese Zahlen einen vergleichsweise einfachen Primzahltest gibt, nämlich den Lucas-Lehmer-Test. Mit diesem Test wird etwa alle zwei Jahre eine neue größte Primzahl gefunden. Für eine Rekordliste siehe Mersenne-Primzahlen.

Mersenne-Zahlen stehen in direktem Verhältnis zu den vollkommenen Zahlen.

Vollkommene Zahlen

Definition

Eine natürliche Zahl ${}n$ heißt vollkommen, wenn sie mit der Summe all ihrer von ${}n$ verschiedenen Teiler übereinstimmt.

Bereits Euklid stellte fest, dass die ersten vier vollkommenen Zahlen sich als

$2^{k-1}(2^{k}-1)$

darstellen lassen:

• Für ${}k=2$: ${}2^{1}(2^{2}-1)=6=1+2+3$

• Für ${}k=3$: ${}2^{2}(2^{3}-1)=28=1+2+4+7+14$

• Für ${}k=5$: ${}2^{4}(2^{5}-1)=496=1+2+4+8+16+31+62+124+248$

• Für ${}k=7$: ${}2^{6}(2^{7}-1)=8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064$.

Euklid bewies, dass ${}2^{k-1}(2^{k}-1)$ immer dann eine vollkommene Zahl ist, wenn ${}2^{k}-1$ eine Primzahl, also eine Mersenne-Primzahl ist. Euler bewies, dass auf diese Weise alle geraden vollkommenen Zahlen erzeugt werden können. Bevor wir diesen Satz von Euklid-Euler beweisen, brauchen wir eine kleine Vorüberlegung.

Definition

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnet man die Summe aller natürlichen Teiler von ${}n$ als ${}\sigma (n)$, also

${}\sigma (n)=\sum _{t{|}n}t\,.$

Eine vollkommene Zahl kann man also dadurch charakterisieren, dass ${}\sigma (n)=2n$ ist.

Lemma

Zu zwei natürlichen teilerfremden Zahlen ${}n$ und ${}m$ gilt

${}\sigma (nm)=\sigma (n)\sigma (m)\,.$

Beweis

Bei zwei teilerfremden Zahlen ${}n$ und ${}m$ hat jeder positive Teiler ${}t$ des Produkts ${}nm$ die eindeutige Form ${}t=ab$, wobei ${}a$ ein Teiler von ${}n$ und ${}b$ ein Teiler von ${}m$ ist. Also gilt

${}\sigma (nm)=\sum _{t{|}mn}t=\sum _{a{|}m{\mbox{ und }}b{|}n}ab={\left(\sum _{a{|}n}a\right)}{\left(\sum _{b{|}m}b\right)}=\sigma (n)\sigma (m)\,.$

$\Box$

Damit können wir beweisen.

Satz

Eine gerade Zahl ${}n$ ist genau dann vollkommen, wenn ${}n=2^{k-1}(2^{k}-1)$ ist mit ${}2^{k}-1$ prim.

Beweis

Es sei zunächst ${}n=2^{k-1}{\left(2^{k}-1\right)}$ mit ${}2^{k}-1$ prim. Dann sind die von ${}n$ verschiedenen Teiler von ${}n$ durch

$2^{i},\,i=0,\ldots ,k-1,{\text{ und }}2^{i}(2^{k}-1),\,i=0,\ldots ,k-2$

gegeben. Daher ist ihre Summe gleich

$\sum _{i=0}^{k-1}2^{i}+(2^{k}-1)\sum _{i=0}^{k-2}2^{i}=2^{k}-1+{\left(2^{k}-1\right)}{\left(2^{k-1}-1\right)}={\left(2^{k}-1\right)}2^{k-1}=n\,,$

also ist ${}n$ vollkommen. Es sei umgekehrt ${}n$ vollkommen. Wir setzen (in Anlehnung an das Ziel) an

${}n=2^{k-1}u\,$

mit ${}u$ ungerade und ${}k\geq 2$, da ja ${}n$ gerade ist. Für teilerfremde Zahlen ist nach Lemma 13.6 die Teilersumme gleich dem Produkt der beiden Teilersummen. Daher ist einerseits

${}\sigma (n)=\sigma {\left(2^{k-1}u\right)}=\sigma {\left(2^{k-1}\right)}\sigma (u)={\left(2^{k}-1\right)}\sigma (u)\,$

und andererseits wegen der Vollkommenheit ${}\sigma (n)=2n=2^{k}u$. Insgesamt ergibt sich also ${}{\left(2^{k}-1\right)}\sigma (u)=2^{k}u$. Da ${}2^{k}-1$ ungerade ist, gilt

$\sigma (u)=x2^{k}{\text{ und }}u=x(2^{k}-1).$

Die Annahme ${}x>1$ führt schnell zum Widerspruch, da es dann zumindest die drei verschiedenen Teiler ${}1,x,x(2^{k}-1)$ von ${}u$ gibt, was zu

${}\sigma (u)\geq {\left(2^{k}-1\right)}x+1+x>2^{k}x\,$

führt. Also ist ${}x=1$ und somit ${}\sigma (u)=2^{k}=u+1$. Die Teilersumme einer Zahl ${}u$ ist aber gleich ${}u+1$ nur dann, wenn eine Primzahl vorliegt.

$\Box$

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt, da es ja auch unbekannt ist, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt. Es ist unbekannt, ob es überhaupt auch ungerade vollkommene Zahlen gibt.

Befreundete Zahlen

Definition

Zwei verschiedene natürliche Zahlen ${}m$ und ${}n$ heißen befreundet, wenn ${}m$ gleich der Summe der echten Teiler von ${}n$ ist und umgekehrt.

Das klassische Beispiel für ein befreundetes Zahlenpaar ist ${}220$ und ${}284$. Die Summe der echten Teiler von ${}220$ ist

${}1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284\,$

und die Summe der echten Teiler von ${}284$ ist

${}1+2+4+71+142=220\,.$

Zwei verschiedene Zahlen sind genau dann befreundet, wenn

${}\sigma (m)=m+n=\sigma (n)\,$

ist. Der folgende Satz erlaubt es, einige weitere befreundete Zahlenpaare zu finden, aber keineswegs alle. Man spricht von der Regel von Thabit.

Satz

Es sei ${}k\geq 2$ eine natürliche Zahl und seien ${}a=3\cdot 2^{k-1}-1$, ${}b=3\cdot 2^{k}-1$ und ${}c=9\cdot 2^{2k-1}-1$ allesamt Primzahlen. Dann sind

$m=2^{k}ab\,\,{\text{ und }}\,\,n=2^{k}c$

befreundet.

Beweis

Wir berechnen ${}\sigma (m)$, ${}\sigma (n)$ und ${}m+n$. Es ist

${}{\begin{aligned}\sigma (m)&=\sigma (2^{k}ab)\\&=\sigma (2^{k})\sigma (a)\sigma (b)\\&={\left(2^{k+1}-1\right)}{\left(3\cdot 2^{k-1}\right)}{\left(3\cdot 2^{k}\right)}\\&={\left(2^{k+1}-1\right)}\cdot 9\cdot 2^{2k-1}.\end{aligned}}$

Weiter ist

${}{\begin{aligned}\sigma (n)&=\sigma (2^{k}c)\\&=\sigma (2^{k})\sigma (c)\\&=(2^{k+1}-1)(1+c)\\&=(2^{k+1}-1)\cdot 9\cdot 2^{2k-1}.\end{aligned}}$

Schließlich ist

${}{\begin{aligned}m+n&=2^{k}(ab+c)\\&=2^{k}{\left({\left(3\cdot 2^{k-1}-1\right)}{\left(3\cdot 2^{k}-1\right)}+9\cdot 2^{2k-1}-1\right)}\\&=2^{k}{\left(9\cdot 2^{2k-1}-3\cdot 2^{k-1}-3\cdot 2^{k}+9\cdot 2^{2k-1}\right)}\\&=2^{k}{\left(9\cdot 2^{2k}-9\cdot 2^{k-1}\right)}\\&=2^{k}2^{k-1}\cdot 9{\left(2^{k+1}-1\right)}.\end{aligned}}$

$\Box$

${}k$	${}a=3\cdot 2^{k-1}-1$	${}b=3\cdot 2^{k}-1$	${}c=9\cdot 2^{2k-1}-1$	${}m=2^{k}ab$	${}n=2^{k}c$
${}2$	${}5$	${}11$	${}71$	${}220$	${}284$
${}3$	${}11$	${}23$	${}287=7\cdot 41{\text{ (nicht prim)}}$	${}\,$	${}\,$
${}4$	${}23$	${}47$	${}1151$	${}17296$	${}18416$
${}5$	${}47$	${}95$	${}4607=17\cdot 271{\text{ (nicht prim)}}$	${}\,$	${}\,$
${}6$	${}95=5\cdot 19{\text{ (nicht prim)}}$	${}191$	${}18431=7\cdot 2633{\text{ (nicht prim)}}$	${}\,$	${}\,$
${}7$	${}191$	${}383$	${}73727$	${}9363584$	${}9437056$

Das Paar ${}1184$ und ${}1210$ ist befreundet, aber nicht über die Regel von Thabit erhältlich.

Zahlentheoretische Funktionen

Definition

Eine Funktion

$\mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

nennt man zahlentheoretische Funktion.

Eine zahlentheoretische Funktion ist also einfach eine komplexwertige Folge. Im zahlentheoretischen Kontext sind die beiden folgenden Definitionen wichtig.

Definition

Eine zahlentheoretische Funktion

$f\colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen ${}m,n$ stets

${}f(mn)=f(m)f(n)\,$

gilt.

An multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen haben wir bisher die eulersche ${}\varphi$-Funktion, die Teileranzahlfunktion und oben die Teilersummenfunktion kennengelernt.

Definition

Zu zahlentheoretischen Funktionen ${}f,g\colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$ heißt die durch

${}(f*g)(n):=\sum _{d{\text{ teilt }}n}f(d)g{\left({\frac {n}{d}}\right)}\,$

definierte Funktion die Faltung von ${}f$ und ${}g$.

Diese Summe kann man auch in der Form

$\sum _{n=de}f(d)g(e)$

schreiben. Summiert wird nur über die positiven Teilerpaare, was bei dieser Schreibweise übersehen werden könnte.

Lemma

Zu multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen ${}f,g\colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$

ist auch die Faltung ${}f*g$ multiplikativ.

Beweis

Es seien ${}f,g$ multiplikativ und es seien ${}m,n$ teilerfremde natürliche Zahlen. Zu einer Faktorzerlegung

${}de=mn\,$

gibt es aufgrund der Teilerfremdheit eine eindeutige Aufspaltung ${}d=ru$ und ${}e=sv$ mit ${}r,u$ und ${}s,v$ teilerfremd und mit ${}rs=m$ und ${}uv=n$. Daher ist

${}{\begin{aligned}(f*g)(m\cdot n)&=\sum _{d\cdot e=m\cdot n}f(d)g(e)\\&=\sum _{rs=m,\,uv=n}f(ru)g(sv)\\&=\sum _{rs=m,\,uv=n}f(r)f(u)g(s)g(v)\\&={\left(\sum _{r\cdot s=m}f(r)g(s)\right)}\cdot {\left(\sum _{u\cdot v=n}f(u)g(v)\right)}\\&=(f*g)(m)\cdot (f*g)(n),\end{aligned}}$

also ist auch ${}f*g$ multiplikativ.

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Definition

Die zahlentheoretische Funktion ${}\mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$, die für ${}1$ den Wert ${}1$ und sonst überall den Wert ${}0$ besitzt, wird mit ${}I$ bezeichnet. Sie heißt die Faltungseinheit.

Definition

Die zahlentheoretische Funktion ${}\mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$, die überall den Wert ${}1$ besitzt, wird mit ${}U$ bezeichnet.

Definition

Die zahlentheoretische Funktion ${}\mu \colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$, die durch

${}\mu (n):={\begin{cases}0,\,{\text{falls in der Primfaktorzerlegung von }}n{\text{ manche Primfaktoren mehrfach auftreten}},\\(-1)^{k},\,{\text{ falls }}n=p_{1}\cdots p_{k}{\text{ mit verschiedenen Primfaktoren}}\,.\end{cases}}\,$

gegeben ist, heißt Möbius-Funktion.

Lemma

Für die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen gelten die folgenden Aussagen.

1. Die Faltung ist eine kommutative und assoziative Verknüpfung.
2. Die Faltungseinheit ${}I$ ist das neutrale Element der Verküpfung.
3. Es ist

   ${}U*\mu =I\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 13.9.

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