Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 12
- Übungsaufgaben
Aufgabe *
Betrachte die Quadratrestgruppe
wobei die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse einen Repräsentanten aus gibt.
Aufgabe
Zeige, dass für jedes die Abschätzungen
gelten.
Aufgabe *
Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von .
Aufgabe *
Bestimme die Primfaktorzerlegung von .
Aufgabe
Bestimme die Primfaktorzerlegung von
Aufgabe
Zeige mit Hilfe des Bertrandschen Postulats, dass für jedes der Binomialkoeffizient
einen Primfaktor größer als besitzt.
Aufgabe
Zeige, dass für die Fakultät keine Quadratzahl ist.
Aufgabe *
Es sei . Zeige, dass das Produkt von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von geteilt wird.
Zur Erinnerung.
Aufgabe
Zeige, dass die Logarithmen zur Basis die folgenden Rechenregeln erfüllen.
- Es ist und , das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis .
- Es gilt
- Es gilt für .
- Es gilt
Aufgabe
Es sei die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge , , sowohl in als auch in einen Häufungspunkt besitzt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge , , sowohl in als auch in einen Häufungspunkt besitzt.
Aufgabe (5 Punkte)
Beweise Korollar 12.5, also die Aussage, dass
ist, mit Hilfe von Korollar 11.6 über die Riemannsche -Funktion.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme anhand des Beweises der Ungleichungen von Tschebyschow einen expliziten Wert für mit .
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige unter Verwendung der Ungleichungen von Tschebyschow, dass es (zumindest für hinreichend groß) mehr Primzahlen zwischen und als zwischen und gibt.
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