Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 12

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Betrachte die Quadratrestgruppe

$\mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2},$

wobei ${}\mathbb {Q} ^{\times 2}$ die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse ${}x\in \mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2}$ einen Repräsentanten aus ${}\mathbb {Z}$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ die Abschätzungen

${}0\leq \left\lfloor 2x\right\rfloor -2\left\lfloor x\right\rfloor \leq 1\,$

gelten.

Aufgabe *

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von ${}100!$.

Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}10!$.

Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von

${\binom {20}{10}}.$

Aufgabe

Zeige mit Hilfe des Bertrandschen Postulats, dass für jedes ${}n\geq 2$ der Binomialkoeffizient

${\binom {2n}{n}}$

einen Primfaktor größer als ${}n$ besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass für ${}n\geq 2$ die Fakultät ${}n!$ keine Quadratzahl ist.

Aufgabe *

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass das Produkt von ${}n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von ${}n!$ geteilt wird.

Zur Erinnerung.

Aufgabe

Zeige, dass die Logarithmen zur Basis ${}b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen.

1. Es ist ${}\log _{b}{\left(b^{x}\right)}=x$ und ${}b^{\log _{b}(y)}=y$, das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.
2. Es gilt ${}\log _{b}(y\cdot z)=\log _{b}y+\log _{b}z$
3. Es gilt ${}\log _{b}y^{u}=u\cdot \log _{b}y$ für ${}u\in \mathbb {R}$.
4. Es gilt

   ${}\log _{a}y=\log _{a}{\left(b^{\log _{b}y}\right)}=\log _{b}y\cdot \log _{a}b\,.$

Aufgabe

Es sei ${}{\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge ${}{\frac {\varphi (n)}{n}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, sowohl in ${}1$ als auch in ${}{\frac {1}{3}}$ einen Häufungspunkt besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}{\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge ${}{\frac {\varphi (n)}{n}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, sowohl in ${}1$ als auch in ${}0$ einen Häufungspunkt besitzt.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise Korollar 12.5, also die Aussage, dass

${}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x}}=0\,$

ist, mit Hilfe von Korollar 11.6 über die Riemannsche ${}\zeta$-Funktion.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme anhand des Beweises der Ungleichungen von Tschebyschow einen expliziten Wert für ${}c$ mit ${}\pi (x)\geq c{\frac {x}{\ln(x)}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige unter Verwendung der Ungleichungen von Tschebyschow, dass es (zumindest für ${}x$ hinreichend groß) mehr Primzahlen zwischen ${}x$ und ${}x^{2}$ als zwischen ${}1$ und ${}x$ gibt.