Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 11

Übungsaufgaben

Aufgabe

Finde die kleinste Zahl ${}N$ der Form ${}N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{r}+1$, die keine Primzahl ist, wobei ${}p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}$ die ersten ${}r$ Primzahlen sind.

Aufgabe

Berechne den Ausdruck

$n^{2}+n+41$

für ${}n=0,1,2,\ldots$. Handelt es sich dabei um Primzahlen?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in ${}K[X]$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

für reelles ${}s\leq 1$ divergiert.

Aufgabe

Zeige, dass die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

für eine komplexe Zahl ${}s$ mit ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ absolut konvergiert.

Aufgabe

Berechne den Wert der Reihe

$\sum _{n\in M(\{3,5,7\})}{\frac {1}{n^{4}}}.$

Aufgabe

Zeige, dass das uneigentliche Integral

$\int _{2}^{\infty }{\frac {1}{x\ln x}}$

divergiert.

Welche Beziehung besteht zwischen der vorstehenden Aufgabe und Satz 11.7?

Aufgabe

Zeige, dass es außer ${}3,5,7$ kein weiteres Zahlentripel der Form ${}p,p+2,p+4$ gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.

Aufgabe

Zeige, dass es eine gerade Zahl ${}g$, ${}2\leq g\leq 252$, mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Primzahlen ${}p$ derart gibt, dass auch ${}p+g$ eine Primzahl ist.

Aufgabe *

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo ${}4$ den Rest ${}1$ besitzen.

Aufgabe

Zeige unter Verwendung des Satzes von Dirichlet, dass eine Primzahl ${}q$ modulo unendlich vieler Primzahlen ${}p$ ein quadratischer Rest ist, aber auch modulo unendlich vieler Primzahlen ein nichtquadratischer Rest.

Aufgabe

Zeige, dass es keine unendlich lange arithmetische Progression gibt, die nur aus Primzahlen besteht.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo ${}4$ den Rest ${}3$ besitzen.

Aufgabe (6 Punkte)

Von wie vielen Zahlen ist „durchschnittlich“ die Zahl ${}7$ der kleinste Primteiler? Erläutere dabei, warum diese Frage durchaus einen Sinn macht. Beschreibe alle Zahlen, deren kleinster Primteiler ${}7$ ist (begründe!).

Beantworte die entsprechenden Fragen für eine beliebige Primzahl. Bis zu welcher Primzahl ${}p$ muss man gehen, damit durchschnittlich mindestens ${}80\%$ (oder ${}85\%$ oder ${}90\%$) aller Zahlen einen Primteiler ${}\leq p$ besitzen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}a>1$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die Anzahl

$\pi (ax)-\pi (x)$

unbeschränkt ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das unendliche Produkt

$\prod _{p\in {\mathbb {P} },\,p\geq 7}{\frac {1}{1-p^{-2}}}.$