Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 15/latex

\setcounter{section}{15}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ \subseteq }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R) }
{ \subseteq }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ Q(R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass jedes Element
\mathbed {f \in K} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,} eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f }
{ =} { up_1^{r_1} { \cdots } p_n^{r_n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einer \definitionsverweis {Einheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und ganzzahligen Exponenten $r_i$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ Q(R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^n }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann schon $a$ zu $R$ gehört.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die rationalen Zahlen
\mathl{(\mathbb Q, +, 0)}{} als \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die rationalen Zahlen
\mathl{(\Q, +, 0)}{} als \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} \definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ \definitionsverweis {zyklisch}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme einen Erzeuger für die \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} $H \subseteq ( \Q,+,0)$, die durch die rationalen Zahlen
\mathdisp {\frac{8}{7}, \, \frac{5}{11}, \, \frac{7}{10}\,} { }
erzeugt wird.

}
{} {}

Eine solche Untergruppe von $\Q$ nennt man auch ein \stichwort {gebrochenes Ideal} {.}


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\mathfrak f} \subseteq \Q$, das durch die rationalen Zahlen
\mathdisp {\frac{3}{7}, \, \frac{5}{6}, \, \frac{3}{10}\,} { }
erzeugt wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{\mathbb P}}{} die Menge der \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} und \maabbdisp {\alpha} {{\mathbb P}} { \Z } {} eine Abbildung. Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G_\alpha }
{ =} { { \left\{ q \in \Q^{\times} \mid \operatorname{ exp}_{ p } ^{ } { \left( q \right) } \geq \alpha(p) \text{ für alle } p \right\} } \cup \{0\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $(\Q,0,+)$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {(\Q,0,+)} {(\Q \setminus \{0\},1,\cdot) } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ trivial ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {(\Q \setminus \{0\},1,\cdot)} {(\Q,0,+) } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ nicht \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es einen \definitionsverweis {surjektiven}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {(\Q \setminus \{0\},1,\cdot)} {(\Q,0,+) } {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Definition . der Spur einer linearen Abbildung unabhängig von der gewählten Matrix ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass $2^{1/5} \in \R$ \definitionsverweis {algebraisch}{}{} über $\Q$ ist und bestimme das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} davon.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es nur \definitionsverweis {abzählbar}{}{} viele \definitionsverweis {algebraische Zahlen}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass es einen \zusatzklammer {injektiven} {} {} \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabb {} {L} {{\mathbb C} } {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {\Q \subseteq K \subset {\mathbb C}} {und} {\Q \subseteq L \subset {\mathbb C}} {} zwei \definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{} von $\Q$ vom Grad \mathkor {} {d} {bzw.} {e} {.} Es seien \mathkor {} {d} {und} {e} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{.} Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K \cap L }
{ =} { \Q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Inverse von
\mathl{2x^2+3x-1}{} im Körper
\mathl{\Q[X]/(X^3-5)}{} \zusatzklammer {$x$ bezeichnet die Restklasse von $X$} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein endlicher Körper und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige direkt, dass für diese Körpererweiterung der Satz vom primitiven Element gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {algebraisch}{}{} über $K$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathbed {z=a+b { \mathrm i} \in {\mathbb C}} {}
{a,b \in \R} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {algebraische Zahl}{}{.} Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z } }
{ = }{ a-b { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sowie der Real- und der Imaginärteil von $z$ algebraisch sind. Man bestimme den \definitionsverweis {Grad}{}{} der \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb A} \cap \R }
{ \subseteq} { {\mathbb A} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L }
{ = }{ K(X) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des \definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subset }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {einfache}{}{,} aber keine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $A$ eine kommutative $K$-Algebra, die außerdem ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} sei. Es sei
\mathl{f \in A}{} ein über $K$ \definitionsverweis {algebraisches Element}{}{.} Es sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein normiertes Polynom mit
\mathl{P(f) =0}{.} Dann ist $P$ das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} von $f$ genau dann, wenn es \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{8}
{

Es sei $p$ eine Primzahl und sei
\mathdisp {L=\Q[X]/ { \left( X^3-p \right) }} { }
der durch das irreduzible Polynom
\mathl{X^3-p}{} definierte Erweiterungskörper von $\Q$. Es sei
\mathdisp {f=2+3x-4x^2} { . }
\aufzaehlungfuenf{Finde die Matrix bezüglich der $\Q$-Basis
\mathl{1,x,x^2}{} von $L$ der durch die Multiplikation mit $f$ definierten $\Q$-linearen Abbildung. }{Berechne die \definitionsverweis {Norm}{}{} und die Spur von $f$. }{Bestimme das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} von $f$. }{Finde das Inverse von $f$. }{Berechne die \definitionsverweis {Diskriminante}{}{} der Basis
\mathl{1,f,f^2}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ X^n-c }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f }
{ =} { a_{n-1} X^{n-1} + a_{n-2}X^{n-2} + \cdots + a_1X+ a_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Element in der \definitionsverweis {einfachen}{}{} \definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ = }{ K[X]/(P) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vom Grad $n$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Spur}{}{} von $f$ gleich $na_0$ ist.

}
{} {}

In der folgenden Aufgabe werden verschiedene äquivalente Bedingungen an ein Polynom gestellt, die man alle als Definition eines separablen Polynoms nehmen kann. Man darf verwenden, dass es zu jedem Körper einen Erweiterungskörper gibt, in dem ein vorgegebenes Polynom in Linearfaktoren zerfällt.


\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein Körper und sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein Polynom vom Grad $n$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: \aufzaehlungvier{$F$ und die (formale) Ableitung $F'$ sind teilerfremd. }{ $F$ und die (formale) Ableitung $F'$ erzeugen das Einheitsideal. }{ $F$ besitzt in keinem Erweiterungskörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} mehrfache Nullstellen. }{Es gibt einen Erweiterungskörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass $F$ als Polynom in
\mathl{L[X]}{} in $n$ verschiedene Linearfaktoren zerfällt.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein Körper und sei $F \in K[X]$ ein irreduzibles Polynom. Man gebe eine einfache Charakterisierung dafür, dass $F$ \definitionsverweis {separabel}{}{} ist.

Zeige, dass in Charakteristik null jedes irreduzible Polynom separabel ist.

Man gebe ein Beispiel, dass das in positiver Charakteristik nicht immer stimmen muss.

}
{} {}