Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 16

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne die Diskriminante zur Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\,$

zur Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ und zur Basis ${}2-5{\mathrm {i} }$ und ${}4+7{\mathrm {i} }$.

Aufgabe *

Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs ${}A_{-7}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element

${}f={\frac {3}{2}}+{\frac {5}{2}}{\sqrt {-7}}\,$

auf und berechne damit die Spur und die Norm von ${}f$.

Aufgabe

Beweise Lemma 16.6 unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass ${}L$ von ${}z$ erzeugt wird.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe. Zeige, dass ${}G$ auf genau eine Weise die Struktur eines ${}\mathbb {Z}$- Moduls trägt. Kommutative Gruppen und ${}\mathbb {Z}$-Moduln sind also äquivalente Objekte.

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe. Zeige, dass ${}A$ genau dann eine ${}R$- Algebra ist, wenn ${}A$ ein ${}R$- Modul ist, für den zusätzlich

$r(ab)=(ra)b{\text{ für alle }}r\in R,\,a,b\in A$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn ${}{\mathfrak {a}}$ der Kern eines Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow K$ in einen Körper ${}K$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass jeder Restklassenring eines Hauptidealringes wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines Hauptidealbereiches kein Hauptidealbereich sein muss.

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Radikal (oder Radikalideal), wenn folgendes gilt: Falls ${}f^{n}\in {\mathfrak {a}}$ ist für ein ${}n\in \mathbb {N}$, so ist bereits ${}f\in {\mathfrak {a}}$.

Aufgabe

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.

Aufgabe *

Zeige, dass ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ reduziert ist.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Dann nennt man die Menge

${\left\{f\in R\mid {\text{es gibt ein }}r{\text{ mit }}f^{r}\in {\mathfrak {a}}\right\}}$

das Radikal zu ${}{\mathfrak {a}}$. Es wird mit ${}\operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$ bezeichnet.

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ das Radikal zum Ideal ${}\mathbb {Z} 27$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq R$ ein Unterring. Bestätige oder widerlege die folgenden Aussagen.

1. Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ist auch ${}{\mathfrak {a}}\cap S$ ein Ideal (in ${}S$).
2. Zu einem Radikal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ist auch ${}{\mathfrak {a}}\cap S$ ein Radikal.
3. Zu einem Primideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ist auch ${}{\mathfrak {a}}\cap S$ ein Primideal.
4. Zu einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ist auch ${}{\mathfrak {a}}\cap S$ ein maximales Ideal.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}(G,+,0)$ eine kommutative Gruppe. Sei

$E:=\operatorname {End} (G)=\operatorname {Hom} (G,G)$

die Menge der Gruppenhomomorphismen von ${}G$ nach ${}G$ (also die Gruppenendomorphismen auf ${}G$). Definiere auf ${}E$ eine Addition und eine Multiplikation derart, dass ${}E$ zu einem (in der Regel nicht kommutativen) Ring wird.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}(M,+,0)$ eine kommutative Gruppe und sei ${}E=\operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$ der zugehörige Endomorphismenring. Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass eine ${}R$-Modulstruktur auf ${}M$ äquivalent ist zu einem Ringhomomorphismus ${}R\rightarrow \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}S$. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ ein Primideal in ${}R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}\neq R$ ein Ideal in ${}R$. Zeige: ${}{\mathfrak {a}}$ ist genau dann ein maximales Ideal, wenn es zu jedem ${}g\in R$, ${}g\not \in {\mathfrak {a}}$, ein ${}f\in {\mathfrak {a}}$ und ein ${}r\in R$ mit ${}rg+f=1$ gibt.