Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 17/latex

\setcounter{section}{17}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Finde eine \definitionsverweis {irreduzible}{}{} \definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{} \zusatzklammer {über $\Z$} {} {} für die \definitionsverweis {Eisensteinzahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega }
{ = }{ { \frac{ -1+\sqrt{-3} }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $A$ eine $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige, dass wenn $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, die Begriffe \definitionsverweis {algebraisch}{}{} und \definitionsverweis {ganz}{}{} für ein Element
\mathl{x \in A}{} übereinstimmen. Zeige ferner, dass für einen \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,} der kein Körper ist, diese beiden Begriffe auseinander fallen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {Integritätsbereiche}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element, das in $S$ eine Einheit ist. Zeige, dass $f$ dann schon in $R$ eine Einheit ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R \subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung und sei $f \in R$. Zeige: Wenn $f$, aufgefasst in $S$, eine Einheit ist, dann ist $f$ eine Einheit in $R$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {ganzen Ringerweiterung}{}{}
\mathl{R \subseteq S}{,} wo es einen \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
\mathl{f \in R}{} gibt, der ein Nullteiler in $S$ wird.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne in
\mathdisp {\Z/(7)[X]/(X^3+4X^2+X+5)} { }
das Produkt
\mathdisp {(2x^2+5x+3) \cdot (3x^2+x+6)} { }
\zusatzklammer {$x$ bezeichne die Restklasse von $X$} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $A$ eine \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige direkt \zusatzklammer {ohne Lemma 17.7} {} {,} dass $A$ \definitionsverweis {ganz}{}{} über $K$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Ringerweiterung}{}{} zwischen \definitionsverweis {endlichen}{}{} \definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{} vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

\aufzaehlungzwei {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass $R$ \definitionsverweis {ganz-abgeschlossen}{}{} im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{R[X]}{} ist. } {Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Ring $R$, der im Polynomring nicht ganz-abgeschossen ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass $R$ genau dann \definitionsverweis {normal}{}{} ist, wenn er mit seiner \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Es sei angenommen, dass die \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} von $R$ gleich dem \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q(R)$ ist. Zeige, dass dann $R$ selbst schon ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und sei \mathind { R_i \subseteq K } { i \in I }{,} eine Familie von \definitionsverweis {normalen}{}{} Unterringen. Zeige, dass auch der Durchschnitt $\bigcap_{i \in I} R_i$ normal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{} und
\mathl{a \in R}{.} Es sei vorausgesetzt, dass $a$ keine Quadratwurzel in $R$ besitzt. Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^2-a}{} \definitionsverweis {prim}{}{} in $R[X]$ ist. Tipp: Verwende den \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q(R)$. Warnung: Prim muss hier nicht zu \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} äquivalent sein.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} $R^{\operatorname{norm} }$. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} }
{ =} {{ \left\{ g \in R \mid gR^{\operatorname{norm} } \subseteq R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $k$ eine fixierte positive ganze Zahl und betrachte den Unterring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} {\Z[ k { \mathrm i} ] }
{ =} {{ \left\{ a+ck{ \mathrm i} \mid a,c \in \Z \right\} } }
{ \subseteq} { \Z[{ \mathrm i}] }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige die Isomorphie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \cong }{\Z[X]/(X^2+k^2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und dass $\Z[{ \mathrm i}]$ \definitionsverweis {ganz}{}{} über $R$ ist.

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben wird der Polynomring
\mathl{K[X,Y]}{} in zwei Variablen über einem Körper $K$ verwendet. Diesen kann man definieren als
\mathl{(K[X])[Y]}{.} Die Elemente in ihm, also die Polynome in zwei Variablen, haben die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { \sum_{i,j} a_{ij}X^{i}Y^{j} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

Wir interessieren uns für Restklassenringe vom Typ
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{K[X,Y]/(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Nullstellenmenge von$F$ besteht aus der Menge derjenigen Punkte
\mathl{(x,y)}{} in der Ebene, für die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(x,y) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist \zusatzklammer {dieses Nullstellengebilde ist eine geometrische Version des Ringes $R$} {} {.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und betrachte den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R }
{ =} { K[X,Y]/(X^2-Y^3) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} nach Aufgabe 17.13. Zeige, dass die \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} von $R$ gleich dem Polynomring
\mathl{K[T]}{} ist. Skizziere die Nullstellenmenge von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ = }{ X^2-Y^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in der reellen Ebene und finde eine Parametrisierung dieses Gebildes.

}
{} {}

Polynomringe kann man entsprechend über jedem Grundring und mit beliebig vielen Variablen definieren.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {X^ 2-3X+7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q }
{ =} {Y^3-Y^2+4Y-5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Begründe, dass die Ringerweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z }
{ \subseteq} { \Z[X,Y]/(P,Q) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {ganz}{}{} ist und finde eine \definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{} für
\mathl{x+y}{} und für $xy$ \zusatzklammer {kleine Buchstaben bezeichnen die Restklassen der Variablen} {} {.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{.} Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für das von $f$ erzeugte \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R \cap (f)S }
{ =} { (f)R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass für natürliche Zahlen
\mathl{a,b \geq 1}{} und
\mathl{n \geq 2}{} die Zahl
\mathl{a^ n - b ^n}{} nicht ein Teiler von
\mathl{a^ n + b ^n}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien
\mathl{R,S,T}{} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{Fakt}{} und seien
\mathl{\varphi:R \rightarrow S}{} und
\mathl{\psi:S \rightarrow T}{} Ringhomomorphismen derart, dass $S$ \definitionsverweis {ganz}{}{} über $R$ und $T$ ganz über $S$ ist. Zeige, dass dann auch $T$ ganz über $R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und betrachte den \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {R = K[X,Y]} { K[T] } {,} der durch die Einsetzung
\mathdisp {X \longmapsto (T-1)(T+1) \text{ und }Y \longmapsto T(T-1)(T+1)} { }
gegeben ist. Finde ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \in }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass $F$ unter $\varphi$ auf $0$ abgebildet wird. Skizziere die \definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{} von $F$ in der reellen Ebene.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Definiere unter Anlehnung an die Parametrisierung der pythagoreischen Tripel einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\mathdisp {\Z[X,Y,Z]/(X^2+Y^2-Z^2) \longrightarrow \Z[U,V]} { . }
Zeige, dass dieser injektiv, aber nicht surjektiv ist.

}
{} {}