Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 18

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und es sei ${}R\subseteq L$ ein Unterring mit den folgenden Eigenschaften:

1. ${}R$ ist ganz über ${}\mathbb {Z}$.
2. Es ist ${}Q(R)=L$.
3. ${}R$ ist normal.

Dann ist ${}R$ der Ring der ganzen Zahlen von ${}L$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

${}S=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,$

eine (als Algebra) endlich erzeugte ${}R$- Algebra, die ganz über ${}R$ sei. Zeige, dass ${}S$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und es sei ${}R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von kommutativen Ringen. Es sei ${}S$ ein normaler Integritätsbereich. Zeige, dass ${}S$ ebenfalls ein Zahlbereich ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in R$. Zeige, dass ${}N(f)\in (f)$ ist, dass also die Norm zum von ${}f$ erzeugten Hauptideal gehört. Zeige durch ein Beispiel, dass dies für die Spur nicht gelten muss.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in R$. Zeige, dass die Spur und die Norm von ${}f$ ganzzahlig sind.

In den drei folgenden Aufgaben wird der Begriff des primitiven Polynoms verwendet:

Ein Polynom ${}F\in \mathbb {Z} [X]$ heißt primitiv, wenn die Koeffizienten von ${}F$ teilerfremd sind.

Aufgabe

Es sei ${}F\in \mathbb {Z} [X]$ ein Polynom. Zeige, dass man ${}F$ als ${}F=n{\tilde {F}}$ mit ${}n\in \mathbb {N}$ und primitivem ${}{\tilde {F}}$ schreiben kann.

Aufgabe

Es sei ${}F\in \mathbb {Z} [X]$ ein irreduzibles Polynom. Dann ist ${}F$, aufgefasst als Polynom in ${}\mathbb {Q} [X]$, ebenfalls irreduzibel.

Aufgabe

Es seien ${}F,G\in \mathbb {Z} [X]$ primitive Polynome. Zeige, dass dann auch das Produkt ${}FG$ primitiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein faktorieller Zahlbereich und ${}\mathbb {Z} \subseteq R$ die zugehörige Erweiterung. Zu einer Primzahl ${}p$ sei

${}p=q_{1}^{r_{1}}\cdots q_{k}^{r_{k}}\,$

die Primfaktorzerlegung von ${}p$ in ${}R$ (die ${}q_{i}$ seien also paarweise nicht assoziiert). Zeige, dass die Primideale ${}{\mathfrak {p}}$ von ${}R$ mit der Eigenschaft ${}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(p)$ genau die Primideale der Form ${}{\mathfrak {p}}=(q_{i})$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ eine ${}\mathbb {Z}$-Basis von ${}R$. Zeige, dass dann der Betrag der Diskriminante

${|}\triangle (f_{1},\ldots ,f_{n}){|}$

minimal ist unter allen Diskriminanten von linear unabhängigen ${}n$-Tupeln aus ${}R$.

Aufgabe

Berechne die Diskriminante der Gaußschen Zahlen. Man gebe zwei wesentlich verschiedene ${}\mathbb {Z}$-Basen von ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ an und überprüfe, dass die Diskriminanten übereinstimmen.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Dedekindbereich, wo jeder Restklassenring ${}\neq 0$ unendlich ist, und für einen Dedekindbereich, der einen Körper enthält und wo alle echten Restklassenringe endlich sind.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein noetherscher, kommutativer Ring. Zeige, dass dann auch jeder Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ noethersch ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$K[X_{n},\,n\in \mathbb {N} ]$

der Polynomring über ${}K$ in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.

Die folgenden Aufgaben benutzen das Produkt von Idealen.

Zu zwei Idealen ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ in einem kommutativen Ring wird das Produkt durch

${}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{k}b_{k}\}\,$

mit ${}a_{i}\in {\mathfrak {a}}$, ${}b_{i}\in {\mathfrak {b}}$ definiert. Das ist das Ideal, das von allen Produkten ${}ab$ (mit ${}a\in {\mathfrak {a}}$, ${}b\in {\mathfrak {b}}$) erzeugt wird.

Für das ${}n$-fache Produkt eines Ideals ${}{\mathfrak {a}}$ mit sich selbst schreibt man ${}{\mathfrak {a}}^{n}$.

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von Hauptidealen wieder ein Hauptideal ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ Ideale in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass die Beziehung

${}{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass die Potenzen ${}{\mathfrak {a}}^{n},\,n\in \mathbb {N} _{+}$, alle dasselbe Radikal besitzen.

Aufgabe *

Es seien ${}I$ und ${}J$ Ideale in einem kommutativen Ring ${}R$ und sei ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige die Gleichheit

${}(I+J)^{n}=I^{n}+I^{n-1}J+I^{n-2}J^{2}+\cdots +I^{2}J^{n-2}+IJ^{n-1}+J^{n}\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [X]/(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)$. Bestimme die Primideale in ${}R$, die über den Primzahlen ${}p=2,3,5,7$ liegen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Betrachte die endliche Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-p)\,$

vom Grad ${}3$. Sei ${}f=aX^{2}+bX+c\in L$ ein Element davon mit ${}a,b,c\in \mathbb {Q}$. Berechne das Minimalpolynom von ${}f$ und man gebe die Koeffizienten davon explizit an. Bestimme insbesondere die Norm und die Spur von ${}f$.

Welche Bedingungen an ${}a,b,c$ ergeben sich aus der Voraussetzung, dass ${}f$ ganz über ${}\mathbb {Z}$ ist?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und seien ${}{\mathfrak {p}}$ und ${}{\mathfrak {q}}$ verschiedene Primideale ${}\neq 0$. Dann gibt es einen Ringisomorphismus

$R/{\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {q}}\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}\times R/{\mathfrak {q}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und seien ${}{\mathfrak {p}}$ und ${}{\mathfrak {q}}$ zwei verschiedene Primideale. Dann ist

${}{\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {q}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige: Ein kommutativer Ring ${}R$ ist genau dann noethersch, wenn es in ${}R$ keine unendliche echt aufsteigende Idealkette

${}{\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset {\mathfrak {a}}_{3}\subset \ldots \,$

gibt.