Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 18

Zahlbereiche

Wir werden uns in dieser Vorlesung hauptsächlich für den ganzen Abschluss von ${}\mathbb {Z}$ in einem endlichen Erweiterungskörper der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ interessieren.

Definition

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${}\mathbb {Z}$ in ${}L$ den Ring der ganzen Zahlen in ${}L$. Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche.

Den endlichen Erweiterungskörper ${}L$ von ${}\mathbb {Q}$ nennt man übrigens einen Zahlkörper. Diese Zahlbereiche sind der Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie. Wir interessieren uns in der algebraischen Zahlentheorie insbesondere für folgende Fragen.

1. Wann ist ein Zahlbereich ${}R$ ein Hauptidealbereich und wann ist er faktoriell?
2. Wenn ${}R$ kein Hauptidealbereich ist, gibt es dann andere Versionen, die die eindeutige Primfaktorzerlegung ersetzen (Ja: Lokal und auf Idealebene).
3. Wenn ${}R$ kein Hauptidealbereich ist, kann man dann die Abweichung von der Eigenschaft, ein Hauptidealbereich zu sein, in irgendeiner Form messen? (Ja: Durch die sogenannte Klassengruppe).

Satz

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich.

Dann ist ${}R$ ein normaler Integritätsbereich.

Beweis

Nach Lemma 17.15 ist ${}L$ der Quotientenkörper des Ganzheitsrings ${}R$. Ist ${}q\in Q(R)=L$ ganz über ${}R$, so ist ${}q$ nach Aufgabe 17.20 auch ganz über ${}\mathbb {Z}$ und gehört selbst zu ${}R$.

$\Box$

Ein Ganzheitsring ist im Allgemeinen nicht faktoriell.

Lemma

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und es sei ${}R\subseteq L$ ein Unterring mit den folgenden Eigenschaften:

1. ${}R$ ist ganz über ${}\mathbb {Z}$.
2. Es ist ${}Q(R)=L$.
3. ${}R$ ist normal.

Dann ist ${}R$ der Ring der ganzen Zahlen von ${}L$.

Beweis

Siehe Aufgabe 18.1.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$, der die Ringe

${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=A\subseteq \mathbb {Z} [\omega ]=B\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]\,$

enthält, wobei ${}\omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}$ ist, d.h. ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ ist der Ring der Eisenstein-Zahlen. Der Quotientenkörper von beiden Ringen ist ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$. Das Element ${}\omega$ erfüllt die Ganzheitsgleichung

${}\omega ^{2}+\omega +1=0\,,$

und somit ist ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ ganz über ${}\mathbb {Z}$. Ferner ist ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ normal. Dies ergibt sich aus Satz 2.15, Satz 2.16, Satz 3.7 und Satz 17.12. Nach Lemma 18.3 ist also insgesamt der Ring der Eisenstein-Zahlen der Ring der ganzen Zahlen in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich.

Dann enthält jedes von ${}0$ verschiedene Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ eine Zahl ${}m\in \mathbb {Z}$ mit ${}m\neq 0$.

Beweis

Sei ${}0\neq f\in {\mathfrak {a}}$. Dieses Element ist nach der Definition eines Zahlbereiches ganz über ${}\mathbb {Z}$ und erfüllt demnach eine Ganzheitsgleichung

${}f^{n}+k_{n-1}f^{n-1}+k_{n-2}f^{n-2}+\cdots +k_{1}f+k_{0}=0\,$

mit ganzen Zahlen ${}k_{i}$. Bei ${}k_{0}=0$ kann man die Gleichung mit ${}f$ kürzen, da ${}f\neq 0$ ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht ${}0$ ist. Es sei also in obiger Gleichung ${}k_{0}\neq 0$. Dann ist

${}f{\left(f^{n-1}+k_{n-1}f^{n-2}+k_{n-2}f^{n-3}+\cdots +k_{1}\right)}=-k_{0}\,$

und somit ist ${}k_{0}\in (f)\cap \mathbb {Z} \subseteq {\mathfrak {a}}$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in Q(R)=L$. Dann ist ${}f$ genau dann ganz über ${}\mathbb {Z}$, wenn die Koeffizienten des Minimalpolynoms von ${}f$ über ${}\mathbb {Q}$ alle ganzzahlig sind.

Beweis

Das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ über ${}\mathbb {Q}$ ist ein normiertes irreduzibles Polynom mit Koeffizienten aus ${}\mathbb {Q}$. Wenn die Koeffizienten sogar ganzzahlig sind, so liegt direkt eine Ganzheitsgleichung für ${}f$ über ${}\mathbb {Z}$ vor.

Es sei umgekehrt ${}f$ ganz über ${}\mathbb {Z}$, und sei ${}S\in \mathbb {Z} [X]$ ein normiertes ganzzahliges Polynom mit ${}S(f)=0$, das wir als irreduzibel in ${}\mathbb {Z} [X]$ annehmen dürfen. Wir betrachten ${}S\in \mathbb {Q} [X]$. Dort gilt

${}S=PT\,.$

Da nach dem Lemma von Gauß ein irreduzibles Polynom von ${}\mathbb {Z} [X]$ auch in ${}{\mathbb {Q} }[X]$ irreduzibel ist, folgt ${}S=P$ und daher sind alle Koeffizienten von ${}P$ ganzzahlig.

$\Box$

Es ergibt sich insbesondere, dass die Norm und die Spur von Elementen aus einem Zahlbereich zu ${}\mathbb {Z}$ gehören.

Gruppenstruktur von Idealen

In ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ist jedes Ideal ein Hauptideal und es ist

${}(a+b{\mathrm {i} })={\left\{m(a+b{\mathrm {i} })+n{\mathrm {i} }(a+b{\mathrm {i} })\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}}\cong \mathbb {Z} ^{2}\,$

(die letzte Gleichung setzt voraus, dass es sich nicht um das Nullideal handelt). Eine ähnlich einfache Gruppenstruktur gilt für jedes Ideal in einem Zahlbereich, was wir jetzt beweisen werden.

Lemma

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Dann enthält ${}{\mathfrak {a}}$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$, die eine ${}\mathbb {Q}$- Basis von ${}L$ sind.

Beweis

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$. Das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ enthält nach Lemma 18.5 ein Element ${}0\neq m\in {\mathfrak {a}}\cap \mathbb {Z}$. Nach (dem Beweis von) Lemma 17.15 kann man ${}v_{i}={\frac {r_{i}}{n_{i}}}$ mit ${}r_{i}\in R$ und ${}n_{i}\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ schreiben. Dann sind die ${}m(n_{i}v_{i})\in {\mathfrak {a}}$ und sie bilden ebenfalls eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Es seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ Elemente, die eine ${}\mathbb {Q}$- Basis von ${}L$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante

$\vert {\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})}\vert$

unter all diesen Basen aus ${}{\mathfrak {a}}$ minimal sei.

Dann ist

${}{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,.$

Beweis

Zunächst sind wegen Aufgabe 18.5 die Spuren zu Elementen aus ${}R$ ganzzahlig und somit sind auch die in Frage stehenden Diskriminanten ganzzahlig. Man kann also die Diskriminanten bzw. ihre Beträge untereinander der Größe nach vergleichen.

Es sei ${}f\in {\mathfrak {a}}$ ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich ${}f$ als eine ${}\mathbb {Z}$-Linearkombination ${}f=k_{1}b_{1}+\cdots +k_{n}b_{n}$ mit ${}k_{i}\in \mathbb {Z}$ schreiben lässt, wenn die ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$ mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung

${}f=q_{1}b_{1}+\cdots +q_{n}b_{n}\,$

mit rationalen Zahlen ${}q_{i}\in \mathbb {Q}$. Es sei angenommen, dass ein ${}q_{i}$ nicht ganzzahlig ist, wobei wir ${}i=1$ annehmen dürfen. Wir schreiben dann ${}q_{1}=k+\delta$ mit ${}k\in \mathbb {Z}$ und einer rationalen Zahl ${}\delta$ (echt) zwischen ${}0$ und ${}1$. Dann ist auch

$c_{1}=f-kb_{1}=\delta b_{1}+\sum _{i=2}^{n}q_{i}b_{i},\,b_{2},\ldots ,b_{n}$

eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$, die in ${}{\mathfrak {a}}$ liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist

${}T={\begin{pmatrix}\delta &q_{2}&q_{3}&\cdots &q_{n}\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}\,.$

Nach Lemma 16.2 gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung

${}\triangle (c_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})\,.$

Wegen ${}(\det(T))^{2}=\delta ^{2}<1$ und da die Diskriminanten nach Lemma 16.3 nicht ${}0$ sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminante.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {a}}$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang ${}n$,

d.h. es gibt Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ mit

${}{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,,$

wobei die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes aus ${}{\mathfrak {a}}$ eindeutig bestimmt sind.

Beweis

Nach Lemma 18.7 gibt es überhaupt Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$, die eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$ bilden. Daher gibt es auch solche Basen, wo der (ganzzahlige) Betrag der Diskriminante minimal ist. Für diese gilt nach Satz 18.8, dass sie ein ${}\mathbb {Z}$-Erzeugendensystem von ${}{\mathfrak {a}}$ bilden. Die lineare Unabhängigkeit über ${}\mathbb {Q}$ sichert die Eindeutigkeit der Koeffizienten.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich.

Dann ist ${}R$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang ${}n$,

d.h. es gibt Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in R$ mit

${}R=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,$

derart, dass die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes eindeutig bestimmt sind.

Beweis

Dies folgt direkt aus Korollar 18.9, angewendet auf das Ideal ${}{\mathfrak {a}}=R$.

$\Box$

Ein solches System von Erzeugern ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ nennt man auch eine Ganzheitsbasis von ${}R$.

Korollar

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}m\in \mathbb {Z}$. Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus

${}R/(m)\cong (\mathbb {Z} /(m))^{n}\,.$

Für eine Primzahl ${}m=p$ ist ${}R/(m)$ eine Algebra der Dimension ${}n$ über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(p)$. Zu jeder Primzahl ${}p$ gibt es Primideale ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}R$ mit ${}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(p)$.

Beweis

Nach Korollar 18.10 ist ${}R\cong \mathbb {Z} ^{n}$ (als abelsche Gruppen), wobei die Standardbasis der Ganzheitsbasis ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ entsprechen möge. Das von ${}m$ in ${}R$ erzeugte Ideal besteht aus allen ${}\mathbb {Z}$-Linearkombinationen der ${}ma_{1},\ldots ,ma_{n}$ und somit entspricht das Ideal (unter dieser Identifizierung) der von ${}(m,0,\ldots ,0),(0,m,0,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,m)$ erzeugten Untergruppe von ${}\mathbb {Z} ^{n}$. Die Restklassengruppe ${}R/(m)$ ist demnach gleich ${}(\mathbb {Z} /(m))^{n}$ und besitzt ${}m^{n}$ Elemente. Aufgrund der Ganzheit ist nach Aufgabe 17.18 ${}mR\cap \mathbb {Z} =m\mathbb {Z}$ und aufgrund des Homomorphiesatzes hat man einen injektiven Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(m)\longrightarrow R/(m),$

sodass ${}R/(m)$ eine von ${}0$ verschiedene ${}\mathbb {Z} /(m)$-Algebra ist.

Für eine Primzahl ${}p$ ist ${}R/(p)$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {Z} /(p)$ der Dimension ${}n$. Deshalb gibt es darin (mindestens) ein maximales Ideal, und dieses entspricht nach Aufgabe 9.15 einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in ${}R$ mit ${}p\in {\mathfrak {m}}$. Daher ist ${}(p)=(p)R\cap \mathbb {Z} \subseteq {\mathfrak {m}}\cap \mathbb {Z}$, und dieser Durchschnitt ist ein Primideal, also gleich ${}(p)$.

$\Box$

Noethersche Ringe und Dedekind-Bereiche

Emmy Noether (1882-1935)

Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.

Korollar

Jeder Zahlbereich ist ein noetherscher Ring.

Beweis

Nach Korollar 18.9 ist jedes von ${}0$ verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu ${}\mathbb {Z} ^{n}$, also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale (also als ${}R$-Moduln) endlich erzeugt.

$\Box$

Satz

Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$

ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ endlich.

Beweis

Als kommutative Gruppe ist ${}R=\mathbb {Z} ^{n}$. Sei ${}a\in {\mathfrak {a}}$, ${}a\neq 0$. Dann ist das von ${}a$ erzeugte Hauptideal eine Untergruppe

${}aR\cong \mathbb {Z} ^{n}\subseteq R\cong \mathbb {Z} ^{n}\,.$

Deshalb ist die Restklassengruppe ${}\mathbb {Z} ^{n}/aR$ endlich und wegen der natürlichen Surjektion ${}\mathbb {Z} ^{n}/aR\rightarrow R/{\mathfrak {a}}$ ist auch der Restklassenring endlich.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Dann ist jedes von ${}0$ verschiedene Primideal von ${}R$ bereits ein maximales Ideal.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal ${}\neq 0$ in ${}R$. Dann ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ nach Lemma 16.13 ein Integritätsbereich und nach Satz 18.14 endlich. Ein endlicher Integritätsbereich ist aber nach Aufgabe 9.5 bereits ein Körper, sodass nach Lemma 16.15 ein maximales Ideal vorliegt.

$\Box$

Richard Dedekind (1831-1916)

Die bisher etablierten Eigenschaften von Zahlbereichen lassen sich im folgenden Begriff zusammenfassen.

Definition

Einen Integritätsbereich ${}R$ nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Primideal darin maximal ist.

Die Eigenschaft, dass jedes von ${}0$ verschiedene Primideal maximal ist, bedeutet, dass die maximalen Ketten von Primidealen die Form ${}0\subset {\mathfrak {m}}$ besitzen (wenn ein Körper vorliegt, so gibt es nur das einzige Primideal ${}0$). Man sagt auch, dass die Krulldimension des Ringes gleich ${}1$ ist.

Korollar

Jeder Zahlbereich ist ein Dedekindbereich.

Beweis

Dies folgt aus Satz 18.2, aus Korollar 18.13 und aus Satz 18.15.

$\Box$

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