Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 18/latex

\setcounter{section}{18}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Unterring mit den folgenden Eigenschaften: \aufzaehlungdrei{ $R$ ist \definitionsverweis {ganz}{}{} über $\Z$. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(R) }
{ = }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{$R$ ist \definitionsverweis {normal}{}{.} } Dann ist $R$ der \definitionsverweis {Ring der ganzen Zahlen}{}{} von $L$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} {R[X_1 , \ldots , X_n]/{\mathfrak a} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \zusatzklammer {als Algebra} {} {} \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,} die \definitionsverweis {ganz}{}{} über $R$ sei. Zeige, dass $S$ ein \definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{} $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} Erweiterung von kommutativen Ringen. Es sei $S$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass $S$ ebenfalls ein Zahlbereich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und sei
\mathl{f \in R}{.} Zeige, dass
\mathl{N(f) \in (f)}{} ist, dass also die Norm zum von $f$ erzeugten Hauptideal gehört. Zeige durch ein Beispiel, dass dies für die Spur nicht gelten muss.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Spur}{}{} und die \definitionsverweis {Norm}{}{} von $f$ ganzzahlig sind.

}
{} {}

In den drei folgenden Aufgaben wird der Begriff des primitiven Polynoms verwendet:

Ein Polynom
\mathl{F \in \Z[X]}{} heißt \definitionswort {primitiv}{,} wenn die Koeffizienten von $F$ teilerfremd sind.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{\Z[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Polynom. Zeige, dass man $F$ als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{n \tilde{F} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und primitivem $\tilde{F}$ schreiben kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{\Z[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.} Dann ist $F$, aufgefasst als Polynom in $\Q[X]$, ebenfalls irreduzibel.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{F,G \in \Z[X]}{} \definitionsverweis {primitive Polynome}{}{.} Zeige, dass dann auch das Produkt $FG$ primitiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller}{}{} \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die zugehörige Erweiterung. Zu einer \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p }
{ =} {q_1^{r_1} \cdots q_k^{r_k} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Primfaktorzerlegung von $p$ in $R$ \zusatzklammer {die $q_i$ seien also paarweise nicht \definitionsverweis {assoziiert}{}{}} {} {.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Primideale}{}{} ${\mathfrak p}$ von $R$ mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} \cap \Z }
{ = }{ (p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau die Primideale der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ = }{ (q_i) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und sei
\mathl{f_1, \ldots ,f_n \in R}{} eine $\Z$-Basis von $R$. Zeige, dass dann der Betrag der \definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
\mathdisp {{{|}}\triangle(f_1, \ldots , f_n){{|}}} { }
minimal ist unter allen Diskriminanten von linear unabhängigen $n$-Tupeln aus $R$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Diskriminante}{}{} der \definitionsverweis {Gaußschen Zahlen}{}{.} Man gebe zwei wesentlich verschiedene $\Z$-Basen von
\mathl{\Z[ { \mathrm i} ]}{} an und überprüfe, dass die Diskriminanten übereinstimmen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{,} wo jeder Restklassenring $\neq 0$ unendlich ist, und für einen Dedekindbereich, der einen \definitionsverweis {Körper}{}{} enthält und wo alle echten Restklassenringe endlich sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{,} \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass dann auch jeder \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/{\mathfrak a}}{} noethersch ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und sei
\mathdisp {K[X_n, \, n \in \N]} { }
der Polynomring über $K$ in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.

}
{} {}

Die folgenden Aufgaben benutzen das Produkt von Idealen.

Zu zwei \definitionsverweis {Idealen}{}{} ${\mathfrak a}$ und ${\mathfrak b}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} wird das \definitionswort {Produkt}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}{\mathfrak b} }
{ =} { { \left\{ a_1b_1 +a_2b_2 + \cdots + a_kb_k \mid a_i \in {\mathfrak a} , \, b_i \in {\mathfrak b} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert.

Für das $n$-fache Produkt eines Ideals ${\mathfrak a}$ mit sich selbst schreibt man ${\mathfrak a}^n$.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Produkt}{}{} von \definitionsverweis {Hauptidealen}{}{} wieder ein Hauptideal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}, {\mathfrak b} }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Ideale}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} \cdot {\mathfrak b} }
{ \subseteq} { {\mathfrak a} \cap {\mathfrak b} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Potenzen}{}{}
\mathl{{\mathfrak a}^n,\, n \in \N_+}{,} alle dasselbe \definitionsverweis {Radikal}{}{} besitzen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {I} {und} {J} {} \definitionsverweis {Ideale}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (I+J)^n }
{ =} { I^n + I^{n-1}J+ I^{n-2}J^2 + \cdots + I^2J^{n-2} + IJ^{n-1} +J^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{\Z[X]/(X^4+X^3+X^2+X+1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme die Primideale in $R$, die über den Primzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{ 2,3,5,7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} liegen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $p$ eine Primzahl. Betrachte die \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq} {L }
{ =} {\Q [X]/(X^3-p) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vom Grad $3$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{aX^2+bX+c }
{ \in }{L }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element davon mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c }
{ \in }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Berechne das Minimalpolynom von $f$ und man gebe die Koeffizienten davon explizit an. Bestimme insbesondere die Norm und die Spur von $f$.

Welche Bedingungen an
\mathl{a,b,c}{} ergeben sich aus der Voraussetzung, dass $f$ ganz über $\Z$ ist?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} und seien $\mathfrak p$ und $\mathfrak q$ verschiedene \definitionsverweis {Primideale}{}{} $\neq 0$. Dann gibt es einen \definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {R/\mathfrak p \cap \mathfrak q } { R/{\mathfrak p} \times R/{\mathfrak q} } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} und seien $\mathfrak p$ und $\mathfrak q$ zwei verschiedene \definitionsverweis {Primideale}{}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathfrak p \cap \mathfrak q }
{ =} { {\mathfrak p} \cdot {\mathfrak q} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige: Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} $R$ ist genau dann \definitionsverweis {noethersch}{}{,} wenn es in $R$ keine unendliche echt aufsteigende Idealkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_1 }
{ \subset} { {\mathfrak a}_2 }
{ \subset} { {\mathfrak a}_3 }
{ \subset} { \ldots }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}