Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 23/latex

\setcounter{section}{23}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{} zu
\mathl{840}{} in $\Z$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{} zu
\mathl{840}{} in $\Z[ { \mathrm i} ]$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{} zur Gaußschen Zahl
\mathl{5+7 { \mathrm i}}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} als ein Produkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} { u p_1^{\nu_1} \cdots p_r^{\nu_r} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit \definitionsverweis {Primelementen}{}{} $p_i$ und einer \definitionsverweis {Einheit}{}{} $u$ gegeben. Zeige, dass dann für den zugehörigen \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( f \right) } }
{ =} { \nu_1 (p_1) + \cdots + \nu_r (p_r) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, wobei die $(p_i)$ die von $p_i$ erzeugten \definitionsverweis {Primideale}{}{} bezeichnen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} mit dem \definitionsverweis {Divisor}{}{} zum \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} $(f)$ übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein von $0$ verschiedenes \definitionsverweis {Ideal}{}{} mit einem \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} ( {\mathfrak a} ) }
{ =} { \operatorname{min} { \left\{ \operatorname{div} { \left( f_i \right) } \mid i = 1 , \ldots , n \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} von $0$ verschiedene Elemente. Zeige, dass $f$ genau dann ein Teiler von $g$ ist, wenn für die \definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( f \right) } }
{ \leq} {\operatorname{div} { \left( g \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{{\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn für alle \definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{} $R_{\mathfrak p}$ gilt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ {\mathfrak a} R_{\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak m}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} mit \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak m}$. Es sei ${\mathfrak a}$ ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann $R_{\mathfrak m}$ auch eine Lokalisierung von $R/{\mathfrak a}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.} Dann ist der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ = }{ R/{\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{Q(S) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $R_{\mathfrak p}$ ist ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} mit dem \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak p}R_{\mathfrak p}}{.} Zeige, dass eine natürliche Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(S) }
{ \cong} { R_{\mathfrak p}/ {\mathfrak p} R_{\mathfrak p} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vorliegt.

}
{} {}

Den in der vorstehenden Aufgabe beschriebenen Körper nennt man auch den \stichwort {Restekörper} {} von ${\mathfrak p}$

man bezeichnet ihn mit
\mathl{\kappa ( {\mathfrak p} )}{.} Die Abbildung

\maabbeledisp {} {R} { \kappa ( {\mathfrak p} ) } {f} { f \mod {\mathfrak p} } {,} \zusatzklammer {aufgefasst in diesem Körper} {} {} heißt auch die \stichwort {Auswertungsabbildung} {} \zusatzklammer {oder \stichwort {Evaluationsabbildung} {}} {} {} an der Stelle ${\mathfrak p}$.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {R} {K } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} in einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Faktorisierung
\mathdisp {R \longrightarrow \kappa( {\mathfrak p} ) \longrightarrow K} { }
mit einem \definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mathl{\kappa( {\mathfrak p} )}{} zu einem \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}[X]} { {\mathbb C} } {X} {a } {,} mit der \definitionsverweis {Evaluationsabbildung}{}{} \zusatzklammer {in den \definitionsverweis {Restekörper}{}{} \mathlk{{\mathbb C}[X]_{(X-a)}/ (X-a) {\mathbb C}[X]_{(X-a)}}{}} {} {} zum \definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mathl{(X-a)}{} übereinstimmt.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Brent method example.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Brent method example.png } {} {Jitse Niesen} {Commons} {gemeinfrei} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathbed {f \in {\mathbb C}[X]} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,} und
\mathl{a \in {\mathbb C}}{.} Zeige, dass die folgenden \anfuehrung{Ordnungen}{} von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen. \aufzaehlungdrei{Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die maximale Ordnung einer Ableitung mit
\mathl{f^{(k)}(a) =0}{.} }{Der Exponent des Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in der Zerlegung von $f$ in irreduzible Polynome. }{Die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $f$ an der Lokalisierung
\mathl{{\mathbb C}[X]_{(X-a)}}{} von
\mathl{{\mathbb C}[X]}{} am maximalen Ideal
\mathl{(X-a)}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme ein Polynom
\mathl{P \in {\mathbb C}[X]}{} minimalen Grades, das an der Stelle
\mathl{3}{} mit der Ordnung zwei verschwindet, das an der Stelle ${\mathrm i}$ mit der Ordnung fünf verschwindet und das an den Stellen $0, 3-2 {\mathrm i}$ und $7 {\mathrm i}$ einfach verschwindet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Wir betrachten in
\mathl{K[X,Y]}{} die beiden \definitionsverweis {Primideale}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ =} { (X) }
{ \subset} { (X,Y) }
{ =} { {\mathfrak m} }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass es kein Ideal ${\mathfrak a}$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ =} { {\mathfrak a} \cdot {\mathfrak m} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die \definitionsverweis {nilpotenten Elemente}{}{} von
\mathl{\Z/(n)}{} und die \definitionsverweis {Reduktion}{}{} von
\mathl{\Z/(n)}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ \neq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {quadratfrei}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ = }{ 1 \mod 4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Finde in
\mathl{\Z[\sqrt{D}]}{} ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ derart, dass die \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} an ${\mathfrak p}$ kein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{ \Z[\sqrt{-5}] }
{ = }{ \Z \oplus \Z \sqrt{-5} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{-5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Betrachte in $R$ die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot 3 }
{ =} { (1+\sqrt{-5} )(1-\sqrt{-5}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die beteiligten Elemente \definitionsverweis {irreduzibel}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {prim}{}{} sind, und bestimme für jedes dieser vier Elemente die Primoberideale. Bestimme die \definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{} zu diesen Elementen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und
\mathl{f,g \in R}{,}
\mathl{f,g \neq 0}{.} Zeige ohne Verwendung des Bijektionssatzes, dass die \definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{} $\operatorname{div} { \left( f \right) }$ und
\mathl{\operatorname{div} { \left( g \right) }}{} genau dann gleich sind, wenn $f$ und $g$ \definitionsverweis {assoziiert}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und sei
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.} Zeige die beiden folgenden Äquivalenzen:

Das Element $f$ ist genau dann \definitionsverweis {prim}{}{,} wenn der zugehörige \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} die Gestalt $1 {\mathfrak p}$ mit einem \definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak p} }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzt.

Das Element $f$ ist genau dann \definitionsverweis {irreduzibel}{}{,} wenn
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} minimal unter allen effektiven Hauptdivisoren $\neq 0$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{7}
{

Es sei
\mathl{n \geq 2}{} eine \definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungsieben{$n$ ist die \definitionsverweis {Potenz}{}{} einer \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} }{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.} }{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist \definitionsverweis {lokal}{}{.} }{Die \definitionsverweis {Reduktion}{}{} von
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} }{Jeder Nullteiler von
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist \definitionsverweis {nilpotent}{}{.} }{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} besitzt genau ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.} }{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} besitzt genau ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{.} }

}
{} {}