Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 24
- Übungsaufgaben
Es sei ein Zahlbereich. Zeige, dass die Abbildung, die einem Element , , den Hauptdivisor zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist .
- Es ist .
Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen Gruppenhomomorphismus
definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.
Es sei ein Zahlbereich und , . Zeige, dass genau dann gilt, wenn der Hauptdivisor ein effektiver Divisor ist.
Es sei ein quadratischer Zahlbereich. Definiere zu einem Divisor den „konjugierten Divisor“ . Zeige, dass für , , die Beziehung
gilt.
Es sei
Berechne den Hauptdivisor zu
Bestimme eine rationale Funktion , die an der Stelle einen Pol der Ordnung , in eine Nullstelle der Ordnung und in einen Pol der Ordnung besitzt.
Es sei eine rationale Funktion . Zeige, dass in genau dann eine Nullstelle der Ordnung besitzt, wenn in einen Pol der Ordnung besitzt.
Der Floh Kurt lebt auf einem unendlichen Lineal und befindet sich in der Nullposition. Er verfügt über drei Sprünge, nämlich
Berechne das zugehörige gebrochene Ideal, das seinem Lebensraum entspricht.
Es sei . Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus , das durch die beiden Erzeuger
gegeben ist.
Es sei ein gebrochenes Ideal zu einem Zahlbereich . Zeige, dass
ebenfalls ein gebrochenes Ideal ist.
Es sei ein Ideal in einem Zahlbereich mit dem zugehörigen effektiven Divisor . Zeige, dass das inverse gebrochene Ideal
gleich dem zu gehörenden gebrochenen Ideal ist.
Es sei ein Zahlbereich und es seien und gebrochene Ideale.
- Zeige, dass wenn es ein
, ,
mit
gibt, dass dann die Multiplikation mit , also
einen - Modulisomorphismus
induziert.
- Zeige, dass wenn es irgendeinen -Modulisomorphismus
gibt, dass es dann schon ein mit
gibt, und dass der Isomorphismus eine Multiplikation ist.
Beweise Lemma 24.12.
Führe die Einzelheiten im Beweis zu Satz 24.13 aus.
Beweise das Lemma von Dickson, das besagt, dass eine nichtleere Teilmenge nur endlich viele minimale Elemente besitzt.
Es sei
ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen und . Zu einem Ideal nennt man das von erzeugte Ideal das Erweiterungsideal von unter . Es wird mit bezeichnet.
Es sei
ein Ringhomomorphismus und es seien Ideale in . Beweise für die Erweiterungsideale die Gleichheiten
und
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne zu
den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.
Aufgabe (4 Punkte)
Die Flöhin Paola lebt in der komplexen Ebene und befindet sich im Nullpunkt. Sie verfügt über drei Sprünge, nämlich
Man gebe eine einfache Beschreibung des gebrochenen Ideals, das ihrem Lebensraum entspricht.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige direkt, dass die gebrochenen Ideale eine Gruppe bilden, und dass die gebrochenen Hauptideale darin eine Untergruppe bilden.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei (mit ) ein Ideal in einem Zahlbereich und sei vorausgesetzt, dass das inverse gebrochene Ideal die Gestalt
hat. Zeige, dass ein Hauptideal sein muss.
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