Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 25

Übungsaufgaben

Aufgabe

Beweise, dass es zu einem Zahlbereich ${}R$ einen Gruppenisomorphismus

$Q(R)^{\times }/R^{\times }\longrightarrow H$

gibt, wobei ${}H$ die Gruppe der Hauptdivisoren bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal ${}\neq 0$ in ${}A_{D}$. Zeige, dass das konjugierte Ideal ${}{\overline {\mathfrak {a}}}$ in der Klassengruppe das Inverse zu ${}{\mathfrak {a}}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Es sei ${}(f)={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}$ die Zerlegung in Primideale und es sei vorausgesetzt, dass ${}f$ eine Primfaktorzerlegung besitzt. Zeige, dass die Primideale ${}{\mathfrak {p}}_{i}$ Hauptideale sind.

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ einen größten gemeinsamen Teiler für ${}22+25{\sqrt {-2}}$ und ${}43-23{\sqrt {-2}}$.

Aufgabe

Betrachte in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ die beiden Elemente

$x=4+7{\sqrt {-2}}\,\,{\text{ und }}\,\,y=5+8{\sqrt {-2}}.$

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der Normen ${}N(x)$ und ${}N(y)$ (in ${}\mathbb {Z}$) und das von ${}x$ und ${}y$ erzeugte Ideal in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$.

Aufgabe

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]\cong {\mathbb {Z} }[X]/(X^{2}+6)$. Berechne den Hauptdivisor zu

${}q={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {-6}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R=A_{-15}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-15}}}{2}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-15$. Berechne zu

$q={\frac {3}{10}}-{\frac {5}{6}}{\sqrt {-15}}$

den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.

Aufgabe

Es sei ${}R=A_{-11}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-11}}}{2}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-11$. Berechne mittels des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von

$35+{\sqrt {-11}}{\mbox{ und }}-89+21{\sqrt {-11}}.$

Aufgabe

Es sei ${}R=A_{-7}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-7}}}{2}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-7$. Bestimme die Primfaktorzerlegung von

$4+9{\sqrt {-7}}.$

Aufgabe

Es sei ${}D$ quadratfrei mit ${}D=3\mod 4$ und ${}D<-1$. Zeige, dass ${}(2,1+{\sqrt {D}})$ ein Primideal im quadratischen Zahlbereich ${}A_{D}$ ist, aber kein Hauptideal. Folgere, dass diese Ringe nicht faktoriell sind.

Aufgabe

Es sei ${}D<0$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige imaginär-quadratische Zahlbereich. Bestimme für ${}D\geq -12$ die Nichteinheiten ${}z\in A_{D}$ mit minimaler Norm.

Aufgabe

Im quadratischen Zahlbereich ${}A_{6}\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {6}}]$ gilt

$2\cdot 3={\sqrt {6}}\cdot {\sqrt {6}}.$

Finde die Primfaktorzerlegungen (?) der beteiligten Faktoren und des Produktes.

Aufgabe

Im quadratischen Zahlbereich ${}A_{-6}\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]$ gilt

$-2\cdot 3={\sqrt {-6}}\cdot {\sqrt {-6}}.$

Kann man diese Produkte weiter zerlegen, sind die beteiligten Faktoren prim?

Aufgabe

Es sei ${}D$ quadratfrei und betrachte ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq A_{D}$. Charakterisiere für die beiden Ringe, wann ${}{\sqrt {D}}$ prim ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel von zwei Zahlbereichen ${}R$ und ${}S$, die als Ringe nicht isomorph sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen ${}(R,+,0)$ und ${}(S,+,0)$ als Gruppen isomorph als auch die multiplikativen Strukturen ${}(R,\cdot ,1)$ und ${}(S,\cdot ,1)$ als Monoide isomorph sind.

Bei den beiden folgenden Aufgaben darf man sich auf quadratische Zahlbereiche beschränken, da wir nur für diese die Multiplikativität der Norm gezeigt haben.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Erweitere die (multiplikative) Normabbildung

${\text{Ideale}}\,(R)\longrightarrow (\mathbb {N} _{+},\cdot ),\,{\mathfrak {a}}\longmapsto N({\mathfrak {a}}),$

zu einem Gruppenhomomorphismus

${\text{Gebrochene Ideale}}\,(R)\longrightarrow \mathbb {Q} ^{\times }.$

Aufgabe

Finde eine (additive) Gruppe ${}G$ und Gruppenhomomorphismen ${}\varphi$ und ${}\psi$ derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}{\text{Gebrochene Ideale}}\,(R)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&\operatorname {Div} {\left(R\right)}\\\!\!\!\!\!\!\operatorname {Norm} \downarrow &&\downarrow \psi \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbb {Q} ^{\times }&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&\!\!\!\!\!\!G\end{matrix}}$

kommutiert und dass ${}\varphi$ injektiv ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ einen größten gemeinsamen Teiler für ${}-169+2{\sqrt {-2}}$ und ${}-70+113{\sqrt {-2}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei angenommen, dass jede ganze Zahl ${}n\in \mathbb {Z}$, ${}n\neq 0$, eine Primfaktorzerlegung in ${}R$ besitzt. Zeige, dass dann ${}R$ bereits faktoriell ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}D\neq 0,1$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Es Es sei ${}p$ eine Primzahl, die in ${}A_{D}$ nicht träge sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen.

1. ${}p$ besitzt eine Primfaktorzerlegung in ${}A_{D}$.
2. ${}p$ ist nicht irreduzibel (also zerlegbar) in ${}A_{D}$.
3. ${}p$ oder ${}-p$ ist die Norm eines Elementes aus ${}A_{D}$.
4. ${}p$ oder ${}-p$ ist die Norm eines Primelementes aus ${}A_{D}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}D\leq -2$ quadratfrei und betrachte ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$. Zeige, dass die einzige Faktorisierung (bis auf Einheiten) von ${}D$ durch

${}D={\sqrt {D}}{\sqrt {D}}\,$

gegeben ist. Zeige damit, dass ${}{\sqrt {D}}$ irreduzibel ist. Zeige ferner, dass falls ${}-D$ keine Primzahl ist, dann auch ${}{\sqrt {D}}$ nicht prim in ${}R$ ist.