Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 24/latex
\setcounter{section}{24}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung, die einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,}
den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} { \left( q \right) }}{} zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt.
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( q_1 q_2 \right) }
}
{ = }{ \operatorname{div} { \left( q_1 \right) } + \operatorname{div} { \left( q_2 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( q_1+ q_2 \right) }
}
{ \geq }{ \min \{ \operatorname{div} { \left( q_1 \right) } , \operatorname{div} { \left( q_2 \right) } \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {Q(R) \setminus \{0\} } { \operatorname{Div} { \left( R \right) }
} {}
definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und
\mathbed {f \in Q(R)} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn der
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} ein
\definitionsverweis {effektiver Divisor}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.}
Definiere zu einem
\definitionsverweis {Divisor}{}{}
$D$ den \anfuehrung{konjugierten Divisor}{} $\overline{D}$. Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mathl{q \neq 0}{,} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ \operatorname{div} { \left( q \right) } }
}
{ =} { \operatorname{div} { \left( \overline {q} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{A_{14}
}
{ = }{\Z[\sqrt{14}]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{14
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} {\frac{3}{5} - \frac{1}{7} \sqrt{14}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den zugehörigen
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { \Z[\sqrt{-6}]
}
{ \cong} { \Z[X]/(X^2+6)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne den Hauptdivisor zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} {\frac{4}{5} + \frac{2}{3} \sqrt{-6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {RationalDegree2byXedi.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { RationalDegree2byXedi.svg } {} {Krishnavedala} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\maabb {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {,}
die an der Stelle
\mathl{2- { \mathrm i}}{} einen Pol der Ordnung $4$, in
\mathl{-3 +5 { \mathrm i}}{} eine Nullstelle der Ordnung $2$ und in $-3$ einen Pol der Ordnung $3$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\maabb {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {.}
Zeige, dass $f$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine Nullstelle der Ordnung $k$ besitzt, wenn $f^{-1}$ in $a$ einen Pol der Ordnung $k$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme einen Erzeuger für das
\definitionsverweis {gebrochene Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f}
}
{ \subseteq }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das durch die rationalen Zahlen
\mathdisp {\frac{4}{7}, \, \frac{7}{10}, \, \frac{13}{8}\,} { }
erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der Floh Kurt lebt auf einem unendlichen Lineal und befindet sich in der Nullposition. Er verfügt über drei Sprünge, nämlich
\mathdisp {\frac{11}{77}, \;\frac{25}{49},\; \frac{82}{15}} { . }
Berechne das zugehörige
\definitionsverweis {gebrochene Ideal}{}{,}
das seinem Lebensraum entspricht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[ { \mathrm i} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R)
}
{ = }{\Q[{ \mathrm i}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das durch die beiden Erzeuger
\mathdisp {\frac{5}{7} \text{ und } \frac{-8+6 { \mathrm i} }{5}} { }
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f}
}
{ \subseteq }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {gebrochenes Ideal}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f}^{-1}
}
{ =} { { \left\{ q \in Q(R) \mid q \cdot {\mathfrak f} \subseteq R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ebenfalls ein gebrochenes Ideal ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{\mathfrak f}} {und} {{\mathfrak g}} {}
\definitionsverweis {gebrochene Ideale}{}{}
in einem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$. Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} \cdot {\mathfrak g}
}
{ =} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak g}
}
{ =} { {\mathfrak f}^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$ mit dem zugehörigen effektiven Divisor $E$. Zeige, dass das inverse gebrochene Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}^{-1}
}
{ =} { { \left\{ q \in Q(R) \mid q \cdot {\mathfrak a} \subseteq R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gleich dem zu $-E$ gehörenden gebrochenen Ideal
\mathl{\operatorname{Id} (-E)}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und es seien
\mathkor {} {{\mathfrak f}} {und} {{\mathfrak g}} {}
\definitionsverweis {gebrochene Ideale}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass wenn es ein
\mathbed {r \in Q(R)} {}
{r \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak g}
}
{ =} { r {\mathfrak f}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, dass dann die Multiplikation mit $r$, also
\maabbeledisp {} {Q(R)} {Q(R)
} {f} {rf
} {,}
einen
$R$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { {\mathfrak f} } { {\mathfrak g}
} {}
induziert.
} {Zeige, dass wenn es irgendeinen $R$-Modulisomorphismus
\maabbdisp {\varphi} { {\mathfrak f} } { {\mathfrak g}
} {}
gibt, dass es dann schon ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak g}
}
{ =} { r {\mathfrak f}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, und dass der Isomorphismus eine Multiplikation ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Lemma 24.12.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe die Einzelheiten im Beweis zu Satz 24.13 aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise das Lemma von Dickson, das besagt, dass eine nichtleere Teilmenge
\mathl{T \subseteq \N^r}{} nur endlich viele minimale Elemente besitzt.
}
{} {}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {A} {B
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{}
\mathkor {} {A} {und} {B} {.}
Zu einem
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq A}{} nennt man das von
\mathl{\varphi { \left( {\mathfrak a} \right) }}{}
\definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{}
das
\definitionswort {Erweiterungsideal}{}
von ${\mathfrak a}$ unter $\varphi$. Es wird mit
\mathl{{\mathfrak a} B}{} bezeichnet.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {A} {B
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
und es seien
\mathl{{\mathfrak a}_1, {\mathfrak a}_2}{}
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
in $A$. Beweise für die
\definitionsverweis {Erweiterungsideale}{}{}
die Gleichheiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( {\mathfrak a}_1 + {\mathfrak a}_2 \right) } B
}
{ =} {{\mathfrak a}_1 B + {\mathfrak a}_2 B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( {\mathfrak a}_1 \cdot {\mathfrak a}_2 \right) } B
}
{ =} { { \left( {\mathfrak a}_1 B \right) } \cdot { \left( {\mathfrak a}_2 B \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{R =A_{-13}=\Z[\sqrt{-13}]}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mathl{D=-13}{.} Berechne zu
\mathdisp {q= \frac{2}{3} - \frac{5}{7} \sqrt{-13}} { }
den zugehörigen
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
und stelle ihn als Differenz zweier
\definitionsverweis {effektiver Divisoren}{}{}
dar.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Die Flöhin Paola lebt in der komplexen Ebene und befindet sich im Nullpunkt. Sie verfügt über drei Sprünge, nämlich
\mathdisp {\frac{3}{4}-\frac{2}{5} { \mathrm i}, \, 2 +\frac{2}{3} { \mathrm i},\, \frac{1}{7}+ 7 { \mathrm i}} { . }
Man gebe eine einfache Beschreibung des
\definitionsverweis {gebrochenen Ideals}{}{,}
das ihrem Lebensraum entspricht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige direkt, dass die \definitionsverweis {gebrochenen Ideale}{}{} $\neq 0$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} bilden, und dass die gebrochenen Hauptideale darin eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{(f_1 , \ldots , f_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{f_i
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$ und sei vorausgesetzt, dass das inverse
\definitionsverweis {gebrochene Ideal}{}{}
${\mathfrak a}^{-1}$ die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}^{-1}
}
{ =} { ( f_1^{-1} , \ldots , f_n^{-1} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
hat. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
sein muss.
}
{} {}
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