Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 27/latex
\setcounter{section}{27}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{R=A_{13}}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mathl{D=13}{.} Zeige mittels
Korollar 27.10,
dass $R$
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Zeige, dass es ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft gibt, dass für alle
\definitionsverweis {maximale Ideale}{}{}
${\mathfrak m}$ gilt:
\mathdisp {f \in {\mathfrak m} \text{ genau dann, wenn } {\mathfrak a} \subseteq {\mathfrak m}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Zeige, dass es eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass das
\definitionsverweis {inverse Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak a}^{-1}}{} zu
\mathl{{\mathfrak a}^m}{} äquivalent ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige mit Korollar 27.10, dass der Ring der Gaußschen Zahlen $\Z[ { \mathrm i} ]$ \definitionsverweis {faktoriell}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Definiere eine \anfuehrung{Divisorenklassengruppe}{} für die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_f$. Dabei soll wieder gelten, dass diese Divisorenklassengruppe genau dann $0$ ist, wenn $R_f$ faktoriell ist. Ferner soll es einen natürlichen surjektiven
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \operatorname{DKG} { \left( R \right) } } { \operatorname{DKG} { \left( R_f \right) }
} {}
geben.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{R=A_{-43}}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mathl{D=-43}{.} Zeige mittels
Korollar 27.10,
dass $R$
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{R=A_{-67}}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-67}{.} Zeige mittels
Korollar 27.10, dass $R$
\definitionsverweis {faktoriell}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit der Eigenschaft gibt, dass die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_f$ faktoriell ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $D$ quadratfrei und sei $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.}
Ferner sei $D$ ein Vielfaches von $5$ und
\mathl{D = 2,3 \mod 4}{.} Zeige: $A_D$ ist nicht
\definitionsverweis {faktoriell}{}{.}
}
{} {Tipp: Siehe
Aufgabe 25.20.}
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