Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 27

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R=A_{13}$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=13$ . Zeige mittels Korollar 27.10, dass ${}R$ faktoriell ist.

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich und ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in ${}R$ . Zeige, dass es ein Element ${}f\in {\mathfrak {a}}$ mit der Eigenschaft gibt, dass für alle maximale Ideale ${}{\mathfrak {m}}$ gilt:

f\in {\mathfrak {m}}{\text{  genau dann, wenn }}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich und ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in ${}R$ . Zeige, dass es eine natürliche Zahl ${}m\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass das inverse Ideal ${}{\mathfrak {a}}^{-1}$ zu ${}{\mathfrak {a}}^{m}$ äquivalent ist.

Aufgabe

Zeige mit Korollar 27.10, dass der Ring der Gaußschen Zahlen ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ faktoriell ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}f\in R$ , ${}f\neq 0$ . Definiere eine „Divisorenklassengruppe“ für die Nenneraufnahme ${}R_{f}$ . Dabei soll wieder gelten, dass diese Divisorenklassengruppe genau dann ${}0$ ist, wenn ${}R_{f}$ faktoriell ist. Ferner soll es einen natürlichen surjektiven Gruppenhomomorphismus

\operatorname {DKG} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(R_{f}\right)}

geben.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R=A_{-43}$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-43$ . Zeige mittels Korollar 27.10, dass ${}R$ faktoriell ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R=A_{-67}$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-67$ . Zeige mittels Korollar 27.10, dass ${}R$ faktoriell ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass es ein ${}f\in R$ , ${}f\neq 0$ , mit der Eigenschaft gibt, dass die Nenneraufnahme ${}R_{f}$ faktoriell ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}D$ quadratfrei und sei ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Ferner sei ${}D$ ein Vielfaches von ${}5$ und ${}D=2,3\mod 4$ . Zeige: ${}A_{D}$ ist nicht faktoriell.