Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 28

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass eine ganzzahlige ${}2\times 2$ - Matrix ${}M$ genau dann (als ganzzahlige Matrix) invertierbar ist, wenn ihre Determinante gleich ${}1$ oder ${}-1$ ist.

Aufgabe

Ergänze die Matrix

{\begin{pmatrix}7&11\\&\end{pmatrix}}

zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante ${}1$ .

Aufgabe

Zeige, dass für die Diskriminante ${}\triangle$ einer binären quadratischen Form

{}\triangle =0,1\mod 4\,

gilt, und dass diese beiden Möglichkeiten durch die sogenannten Hauptformen ${}X^{2}-{\frac {\triangle }{4}}Y^{2}$ bzw. ${}X^{2}+XY-{\frac {\triangle -1}{4}}Y^{2}$ realisiert werden.

Aufgabe

Es sei ${}F$ eine einfache binäre quadratische Form. Zeige, dass die von der Menge der durch ${}F$ darstellbaren Zahlen erzeugte Untergruppe gleich ${}\mathbb {Z}$ ist.

Es sei ${}F=aX^{2}+bXY+cY^{2}$ eine binäre quadratische Form und ${}F'$ die mittels der Matrix ${}M={\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}$ transformierte Form ${}F'=FM$ . Zeige, dass für die Koeffizienten die Beziehung

{}{\begin{pmatrix}a'&{\frac {1}{2}}b'\\{\frac {1}{2}}b'&c'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&t\\s&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&{\frac {1}{2}}b\\{\frac {1}{2}}b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}\,

besteht.

Aufgabe *

Es sei ${}F=aX^{2}+bXY+cY^{2}$ eine binäre quadratische Form und ${}F'$ die mittels der Matrix ${}M={\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}$ transformierte Form ${}F'=FM$ . Dann besteht für die Koeffizienten die Beziehung

{}{\begin{pmatrix}b'&2c'\\2a'&b'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&s\\t&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b&2c\\2a&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}\,.

Aufgabe

Zeige, dass die Eigenschaft einer binären quadratischen Form, einfach zu sein, nur von der Äquivalenzklasse der Form abhängt.

Aufgabe

Zeige, dass man mit der binären quadratischen Form

x^{2}-10y^{2}

weder die Zahl ${}2$ noch die Zahl ${}-2$ darstellen kann.

Unter einer homogenen Linearform versteht man einen Ausdruck der Form ${}rX+sY$ .

Aufgabe

Zeige, dass eine binäre quadratische Form ${}aX^{2}+bXY+cY^{2}$ mit ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$ über ${}{\mathbb {C} }$ in (homogene) Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe

Es sei ${}aX^{2}+bXY+cY^{2}$ eine binäre quadratische Form mit ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$ . Charakterisiere mit Hilfe der Diskriminante, ob diese Form über ${}\mathbb {R}$ in (homogene) Linearfaktoren zerfällt.

Bei ${}a=0$ oder ${}c=0$ ist die Diskriminante gleich ${}b^{2}$ , also ein Quadrat, und die Form zerfällt in ${}Y(bX+cY)$ . Ein ähnliches Verhalten tritt stets aus, wenn die Diskriminante eine Quadratzahl ist. Dieser Fall ist vergleichsweise einfach und hat keine Entsprechung in den quadratischen Zahlbereichen.

Aufgabe

Es sei ${}aX^{2}+bXY+cY^{2}$ eine binäre quadratische Form mit ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$ . Zeige, dass die Diskriminante genau dann eine Quadratzahl ist, wenn diese Form über ${}\mathbb {Q}$ in (homogene) Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe

Zeige, dass eine binäre quadratische Form ${}aX^{2}+bXY+cY^{2}$ mit einer quadratfreien (bzw. bis auf den Faktor ${}4$ quadratfreien) Diskriminante einfach ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine binäre quadratische Form ${}aX^{2}+bXY+cY^{2}$ eine quadratische Form auf dem ${}\mathbb {Z}$ - Modul ${}\mathbb {Z} ^{2}$ im Sinne der Definition 28.8 ist.

Aufgabe

Es sei ${}Q\colon L\rightarrow R$ eine quadratische Form auf dem ${}R$ - Modul ${}L$ und ${}M\subseteq L$ ein ${}R$ - Untermodul. Zeige, dass die Einschränkung von ${}Q$ auf ${}M$ ebenfalls eine quadratische Form ist.

Bei der nächsten Aufgabe denke man an ${}S=\mathbb {Q}$ , ${}R=\mathbb {Z}$ , bei ${}L$ an den Quotientenkörper eines quadratischen Zahlbereichs zusammen mit der Norm als quadratischer Form (mit Werten in ${}\mathbb {Q}$ ) und bei ${}M$ an ein gebrochenes Ideal von ${}L$ .

Aufgabe

Es sei ${}L$ ein ${}S$ - Modul und ${}Q\colon L\rightarrow S$ eine quadratische Form. Es sei ${}R\subseteq S$ ein Unterring und es sei ${}M\subseteq L$ ein ${}R$ - Untermodul mit der Eigenschaft, dass die Werte von ${}M$ unter ${}Q$ zu ${}R$ gehören. Zeige, dass die Einschränkung von ${}Q$ auf ${}M$ eine quadratische Form über ${}R$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}Q\colon L\rightarrow R$ eine quadratische Form auf dem ${}R$ - Modul ${}L$ , es sei ${}M$ ein weiterer ${}R$ -Modul und es sei

\varphi \colon M\longrightarrow L

ein ${}R$ - Modulhomomorphismus. Zeige, dass ${}Q\circ \varphi$ eine quadratische Form auf ${}M$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich und es seien ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ äquivalente Ideale aus ${}R$ . Zeige, dass dann die zugehörigen vereinfachten Normen als quadratische Formen äquivalent sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich mit Diskriminante ${}\triangle$ und sei ${}aX^{2}+bXY+cY^{2}$ eine binäre quadratische Form zu dieser Diskriminante mit ${}a<0$ . Zeige wie im Beweis zu Satz 28.13, dass

{}{\mathfrak {a}}={\sqrt {\triangle }}\cdot {\left(a\mathbb {Z} +{\frac {b-{\sqrt {\triangle }}}{2}}\mathbb {Z} \right)}\,

ein Ideal in ${}R$ ist und die Eigenschaft besitzt, dass die Norm darauf die vorgegebene quadratische Form realisiert.

Aufgabe *

Es sei

{}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\,

eine quadratische Körpererweiterung und es sei

\varphi \colon L\longrightarrow L

eine ${}\mathbb {Q}$ - lineare Abbildung, die die Norm erhält. Zeige, dass ${}\varphi$ die Multiplikation mit einem Element aus ${}L$ oder aber die Hintereinanderschaltung der Konjugation mit einer solchen Multiplikation ist.