Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine ganzzahlige $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ genau dann \zusatzklammer {als ganzzahlige Matrix} {} {} invertierbar ist, wenn ihre Determinante gleich \mathkor {} {1} {oder} {-1} {} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ergänze die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7 & 11 \\ & \end{pmatrix}} { }
zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante $1$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
$\triangle$ einer
\definitionsverweis {binären quadratischen Form}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle
}
{ =} { 0,1 \mod 4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, und dass diese beiden Möglichkeiten durch die sogenannten \stichwort {Hauptformen} {}
\mathkor {} {X^2 - { \frac{ \triangle }{ 4 } } Y^2} {bzw.} {X^2+ XY - { \frac{ \triangle-1 }{ 4 } } Y^2} {}
realisiert werden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $F$ eine \definitionsverweis {einfache}{}{} \definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{.} Zeige, dass die von der Menge der durch $F$ \definitionsverweis {darstellbaren}{}{} Zahlen erzeugte Untergruppe gleich $\Z$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{F=aX^2+bXY+cY^2}{} eine
\definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{}
und $F'$ die mittels der Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
transformierte Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'
}
{ = }{F M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für die Koeffizienten die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a' & { \frac{ 1 }{ 2 } } b' \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } b' & c' \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} r & t \\ s & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & { \frac{ 1 }{ 2 } } b \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{F=aX^2+bXY+cY^2}{} eine
\definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{}
und $F'$ die mittels der Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
transformierte Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'
}
{ = }{F M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann besteht für die Koeffizienten die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} b' & 2c' \\ 2a' & b' \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} u & s \\ t & r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b & 2c \\ 2a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Eigenschaft einer \definitionsverweis {binären quadratischen Form}{}{,} \definitionsverweis {einfach}{}{} zu sein, nur von der \definitionsverweis {Äquivalenzklasse}{}{} der Form abhängt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man mit der
\definitionsverweis {binären quadratischen Form}{}{}
\mathdisp {x^2 -10 y^2} { }
weder die Zahl $2$ noch die Zahl $-2$ darstellen kann.
}
{} {}
Unter einer homogenen Linearform versteht man einen Ausdruck der Form
\mathl{rX+sY}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{}
\mathl{aX^2 +bXY +cY^2}{} mit
\mathl{a,b,c \in \Z}{} über ${\mathbb C}$ in
\zusatzklammer {homogene} {} {}
Linearfaktoren zerfällt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{aX^2 +bXY +cY^2}{} eine
\definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{}
mit
\mathl{a,b,c \in \Z}{.} Charakterisiere mit Hilfe der
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{,}
ob diese Form über $\R$ in
\zusatzklammer {homogene} {} {}
Linearfaktoren zerfällt.
}
{} {}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Diskriminante gleich $b^2$, also ein Quadrat, und die Form zerfällt in
\mathl{Y(bX+cY)}{.} Ein ähnliches Verhalten tritt stets aus, wenn die Diskriminante eine Quadratzahl ist. Dieser Fall ist vergleichsweise einfach und hat keine Entsprechung in den quadratischen Zahlbereichen.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{aX^2 +bXY +cY^2}{} eine
\definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{}
mit
\mathl{a,b,c \in \Z}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
genau dann eine Quadratzahl ist, wenn diese Form über $\Q$ in
\zusatzklammer {homogene} {} {}
Linearfaktoren zerfällt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{}
\mathl{aX^2 +bXY +cY^2}{} mit einer quadratfreien
\zusatzklammer {bzw. bis auf den Faktor $4$ quadratfreien} {} {}
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
\definitionsverweis {einfach}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{}
\mathl{aX^2+bXY+cY^2}{} eine quadratische Form auf dem
$\Z$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
\mathl{\Z^2}{} im Sinne der
Definition 28.8
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {Q} {L} {R
} {}
eine
\definitionsverweis {quadratische Form}{}{}
auf dem
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$L$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$R$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{.}
Zeige, dass die Einschränkung von $Q$ auf $M$ ebenfalls eine quadratische Form ist.
}
{} {}
Bei der nächsten Aufgabe denke man an $S=\Q$,
\mathl{R=\Z}{,} bei $L$ an den Quotientenkörper eines quadratischen Zahlbereichs zusammen mit der Norm als quadratischer Form
\zusatzklammer {mit Werten in $\Q$} {} {}
und bei $M$ an ein
\definitionsverweis {gebrochenes Ideal}{}{}
von $L$.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $L$ ein
$S$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
und
\maabb {Q} {L} {S
} {}
eine
\definitionsverweis {quadratische Form}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$R$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
mit der Eigenschaft, dass die Werte von $M$ unter $Q$ zu $R$ gehören. Zeige, dass die Einschränkung von $Q$ auf $M$ eine quadratische Form über $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {Q} {L} {R
} {}
eine
\definitionsverweis {quadratische Form}{}{}
auf dem
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$L$, es sei $M$ ein weiterer $R$-Modul und es sei
\maabbdisp {\varphi} {M} {L
} {}
ein
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{Q \circ \varphi}{} eine quadratische Form auf $M$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und es seien \mathkor {} {{\mathfrak a}} {und} {{\mathfrak b}} {} \definitionsverweis {äquivalente}{}{} Ideale aus $R$. Zeige, dass dann die zugehörigen \definitionsverweis {vereinfachten Normen}{}{} als quadratische Formen \definitionsverweis {äquivalent}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{}
mit Diskriminante $\triangle$ und sei
\mathl{aX^2 +bXY+cY^2}{} eine
\definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{}
zu dieser Diskriminante mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige wie im Beweis zu
Satz 28.13,
dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { \sqrt{\triangle} \cdot { \left( a \Z + { \frac{ b - \sqrt{\triangle} }{ 2 } } \Z \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Ideal in $R$ ist und die Eigenschaft besitzt, dass die Norm darauf die vorgegebene quadratische Form realisiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {L
}
{ =} { \Q[ \sqrt{D} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {L} {L
} {}
eine
$\Q$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
erhält. Zeige, dass $\varphi$ die Multiplikation mit einem Element aus $L$ oder aber die Hintereinanderschaltung der
\definitionsverweis {Konjugation}{}{}
mit einer solchen Multiplikation ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Ergänze die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7892 & 1551 \\ & \end{pmatrix}} { }
zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante $1$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
der
\definitionsverweis {binären quadratischen Form}{}{}
\mathdisp {49 X^2 + 65 XY + 73 Y^2} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme, ob die
\definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{}
\mathdisp {1547 X^2 + 4199 XY + 1003 Y^2} { }
einfach ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass man mit der
\definitionsverweis {binären quadratischen Form}{}{}
\mathdisp {2x^2 +2xy +3y^2} { }
die Zahl $5$ nicht darstellen kann.
}
{} {}
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