Kurve/Morphismus/Galois/Vorgeschobener Divisor/Fakt

Es sei ${}\varphi \colon C_{1}\rightarrow C_{2}$ ein endlicher Morphismus vom Grad ${}d$ zwischen irreduziblen, glatten Kurven, die zugehörige Körpererweiterung der Funktionenkörper sei galoissch mit Galoisgruppe ${}G$.

1. Zu einem Weildivisor ${}D$ auf ${}C_{1}$ ist

   ${}\varphi _{*}(D)=\varphi _{*}(\sigma _{*}(D))\,$

   für ${}\sigma \in G$.

2. Zu ${}g\in Q(C_{2})$, ${}g\neq 0$, ist

   ${}\varphi _{*}\operatorname {div} {\left(g\right)}=d\cdot \operatorname {div} {\left(g\right)}\,$

3. Zu einem Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ mit ${}f\in Q(C_{1})$, ${}f\neq 0$, ist

   ${}\varphi _{*}(\operatorname {div} {\left(f\right)})=\operatorname {div} {\left(N(f)\right)}\,,$

   wobei ${}N(f)$ die Norm bezeichnet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen