Kurven/Endlicher Morphismus/Separabel/Generische Faserpunktanzahl/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können direkt davon ausgehen, dass affine glatte Kurven vorliegen, da eine Kurve außerhalb einer endlichen Teilmenge stets glatt ist. Es sei der zugehörige endliche Ringhomomorphismus, wir arbeiten mit dem Modul der Kähler-Differentiale und wenden Fakt an. Nach Voraussetzung ist die Körpererweiterung

separabel. Daher gilt

nach Fakt. Es ist nach Fakt die Nenneraufnahme von an bzw. an . Da der Kählermodul nach Fakt endlich erzeugt ist, gibt es auch ein , , mit

In der abgeschlossenen Teilmenge , also außerhalb von , liegen nur endlich viele Punkte. Daher können wir die Aussage auf beweisen. D.h. wir können von einer endlichen Erweiterung ausgehen, für die der Modul der Kähler-Differentiale überhaupt gleich ist. Die Aussage ergibt sich dann aus Fakt.