Lemma von Goursat/Rechteckversion/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Aussage folgt für Rechtecke, die man aus (kleinen) Quadraten zusammensetzen kann, direkt aus Fakt, da sich die Wege längs der inneren Kanten wegheben. Im allgemeinen Fall kann man das gegebene Rechteck durch solche zusammengesetzten Rechtecke beliebig gut approximieren: Wenn ${}L$ und ${}M$ die Seitenlängen des Rechteckes sind, so kann man mit Quadraten der Seitenlänge ${}{\frac {L}{n}}$ arbeiten. Es sei ${}m$ durch

${}m{\frac {L}{n}}\leq M<{\left(m+1\right)}{\frac {L}{n}}\,$

festgelegt. Das Rechteck mit ${}n\cdot m$ Quadraten liegt dann innerhalb des Rechteckes und das Rechteck mit ${}n\cdot (m+1)$ Quadraten überdeckt das Rechteck. Mit Hilfe der gleichmäßigen Stetigkeit auf dem Differenzrechteck (der Breite ${}L/n$ und der Höhe ${}M$)

kann man, indem man ${}n$ groß genug wählt, zeigen, dass das Wegintegral längs der Rechteckkanten beliebig nah am Wegintegral längs der Kanten der durch Quadrate zusammengesetzten Rechtecke ist, also beliebig nah an ${}0$.

Zur gelösten Aufgabe