Linear reduktive Gruppe/Algebraische (Ko)Operation/Direkter Summand/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}V\subseteq R$ ein endlichdimensionaler ${}G$-Untervektorraum. Nach Fakt  (2) ist ${}V=V^{G}\oplus W$ mit einem ${}G$-Komplement, das überdies eindeutig bestimmt ist und für welches ${}{\left({W}^{*}\right)}^{G}=0$ gilt.
  Es ist sinnvoll, zuerst die Eindeutigkeit einer Reynolds-Abbildung nachzuweisen. Es sei

$\Phi \colon R\longrightarrow R^{G}$

eine Reynolds-Abbildung. Nach Fakt gibt es zu jedem ${}f\in R$ einen endlichdimensionalen ${}G$-Untervektorraum ${}V\subseteq R$ mit ${}f\in V$. Wegen der ${}G$-Invarianz von ${}\Phi$ ist ${}\Phi (V)\subseteq V$ und die Einschränkung ${}\Phi {|}_{V^{G}}$ ist die Identität auf ${}V^{G}$. Ferner ist ${}\Phi (W)=0$. Bei ${}u\in \Phi (W)$, ${}u\neq 0$, könnte man nämlich mit Hilfe einer ${}K$-linearen Abbildung

$h\colon R^{G}\longrightarrow K$

mit ${}h(u)\neq 0$ eine Linearform ${}\neq 0$ auf ${}R$, nämlich ${}h\circ \Phi$, angeben, die zu ${}{\left({W}^{*}\right)}^{G}$ gehört. Dadurch ist ${}\Phi$ auf ${}V$ eindeutig bestimmt und somit kann es maximal eine Reynolds-Abbildung geben.
Zur Existenz. Wir wählen zu ${}f\in R$ gemäß Fakt einen endlichdimensionalen ${}G$-Untervektorraum ${}V\subseteq R$ und setzen

${}\Phi (f):=\pi _{V}(f)\,,$

wobei

$\pi _{V}\colon V\longrightarrow V^{G}$

die Projektion von ${}V$ auf ${}V^{G}$ längs des ${}G$-Komplementes ${}W$von ${}V^{G}$ in ${}V$ bezeichnet. Dabei ist ${}\Phi (f)$ unabhängig von der Wahl von ${}V$. Zu einem anderen ${}V'$ ist nämlich ${}\pi _{V'}{|}_{V\cap V'}=\pi _{V}{|}_{V\cap V'}$. Um dies zu zeigen kann man ${}V\subseteq V'$ annehmen. Aus ${}V'=(V')^{G}\oplus W'$ ergibt sich durch Schneiden mit ${}V$ sofort eine Zerlegung von ${}V$, die wegen der Eindeutigkeit mit ${}V^{G}\oplus W$ übereinstimmen muss. Somit haben wir eine wohldefinierte ${}K$-lineare Abbildung

$\Phi \colon R\longrightarrow R^{G}.$

Zu ${}f\in R^{G}$ ist natürlich ${}f\in V^{G}$ (für einen gewählten Unterraum) und somit ist die Einschränkung von ${}\Phi$ auf ${}R^{G}$ die Identität. Für ein Gruppenelement ${}g\in G$ und ${}f\in R$ kann man ${}\Phi (fg)$ mit dem gleichen Untervektorraum ${}V$ berechnen. Es sei ${}f=(u,w)$ die Zerlegung von ${}f$ in der direkten Zerlegung

${}V=V^{G}\oplus W\,.$

Die Zerlegung von ${}fg$ hat dann die Form ${}(u,w')$, da ja die Zerlegung die Gruppenoperation respektiert und die Gruppe in der ersten Komponente identisch operiert. Somit ist

${}\Phi (fg)=\pi _{V}(fg)=u=\pi _{V}(f)=\Phi (f)\,,$

und ${}\Phi$ ist in der Tat eine Reynolds-Abbildung.

Zur bewiesenen Aussage