Linear reduktive Gruppe/Charakterisierung/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}G$ eine affin-algebraische Gruppe über ${}K$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}G$ ist linear reduktiv.
2. Zu jeder ${}K$-rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$ besitzt ${}V^{G}\subseteq V$ ein eindeutig bestimmtes ${}G$-Komplement ${}W\subseteq V$. Dabei gilt ${}{\left({W}^{*}\right)}^{G}=0$.
3. Zu jeder ${}K$-rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$ und jedem ${}v\in V^{G}$, ${}v\neq 0$, gibt es eine ${}G$-invariante Linearform ${}f\in {V}^{*}$ mit ${}f(v)\neq 0$.
4. Zu jeder ${}K$-rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$ und jedem ${}G$-Untervektorraum ${}U\subseteq V$ gibt es ein ${}G$-Komplement.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen