Linear reduktive Gruppe/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

. Es sei die Zerlegung in irreduzible Darstellungen. Wegen der Irreduzibilität ist gleich oder gleich , daher ist (nach Umordnung) . Die direkte Summe der verbleibenden irreduziblen Unterräume, also bilden ein -invariantes Komplement. Wenn ein solches -Komplement ist, so gilt wieder oder . Bei für ein würde die Dimension von zu klein werden, also muss sein. Den Zusatz kann man für die an beteiligten getrennt beweisen. Es sei also

eine -invariante Linearform. Bei und wäre der Kern ein echter -invarianter Untervektorraum im Widerspruch zur Irreduziblität von . Bei und wäre eine Bijektion, und dann müsste auf identisch wirken.
. Wir betrachten die lineare Projektion

zur Zerlegung mit dem -invarianten Komplement . Dabei ist und dazu gibt es eine Linearform mit . Die Linearform ist -verträglich und leistet das Gewünschte.
. Es sei zunächst irreduzibel. Die Räume und sind dual zueinander, und zwar über die Beziehung

Dabei ist ein Endomorphismus auf . Wir fassen die Inklusion als eine -invariante lineare Abbildung, also als ein Element in , auf. Nach , angewendet auf dieses Element, muss es ein -invariantes mit geben, was bedeutet. Die lineare Abbildung

ist daher nicht die Nullabbildung, und sie ist -invariant als Verknüpfung von zwei -invarianten linearen Abbildungen. Nach Fakt ist eine Streckung, die wir zur Identität normieren können. Somit ist eine -invariante Projektion auf und daher ist

Im allgemeinen Fall führen wir Induktion über die Dimension von . Es sei

ein -invarianter irreduzibler Untervektorraum. Nach der Vorüberlegung ist , wobei ebenfalls -invariant ist. Es ist dann

Aufgrund der Induktionsvoraussetzung ist

mit einem -invarianten Untervektorraum

und daher ist


. Induktion über die Dimension von .