. Es sei
die Zerlegung in
irreduzible Darstellungen.
Wegen der
Irreduzibilität
ist gleich oder gleich , daher ist
(nach Umordnung)
. Die direkte Summe der verbleibenden irreduziblen Unterräume, also bilden ein -invariantes Komplement. Wenn ein solches -Komplement ist, so gilt wieder oder . Bei für ein würde die Dimension von zu klein werden, also muss sein. Den Zusatz kann man für die an beteiligten getrennt beweisen. Es sei also
-
eine
-invariante Linearform.
Bei und wäre der Kern ein echter -invarianter Untervektorraum im Widerspruch zur Irreduziblität von . Bei und wäre eine Bijektion, und dann müsste auf identisch wirken.
. Wir betrachten die
lineare Projektion
-
zur Zerlegung mit dem -invarianten Komplement . Dabei ist und dazu gibt es eine Linearform
mit . Die Linearform ist -verträglich und leistet das Gewünschte.
. Es sei zunächst irreduzibel. Die Räume
und
sind
dual
zueinander, und zwar über die Beziehung
-
Dabei ist ein Endomorphismus auf . Wir fassen die Inklusion als eine -invariante lineare Abbildung, also als ein Element in , auf. Nach , angewendet auf dieses Element, muss es ein -invariantes mit geben, was
bedeutet. Die lineare Abbildung
-
ist daher nicht die Nullabbildung, und sie ist -invariant als Verknüpfung von zwei -invarianten linearen Abbildungen.
Nach Fakt
ist eine Streckung, die wir zur Identität normieren können. Somit ist eine -invariante Projektion auf und daher ist
-
Im allgemeinen Fall führen wir Induktion über die Dimension von . Es sei
-
ein -invarianter irreduzibler Untervektorraum. Nach der Vorüberlegung ist
,
wobei ebenfalls -invariant ist. Es ist dann
-
Aufgrund der Induktionsvoraussetzung ist
-
mit einem -invarianten Untervektorraum
-
und daher ist
-
. Induktion über die Dimension von
.