Lineare Abbildung/Duale Abbildung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$-lineare Abbildung. Dann heißt die Abbildung

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(W,K\right)}={W}^{*}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}={V}^{*},\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$

die duale Abbildung zu ${}\varphi$.

Diese Zuordnung beruht also einfach darauf, dass man die Hintereinanderschaltung

$V{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}W{\stackrel {f}{\longrightarrow }}K$

betrachtet. Die duale Abbildung ist ein Spezialfall von der in Fakt  (1) beschriebenen Situation. Insbesondere ist die duale Abbildung wieder linear.

Lemma

Es seien ${}U,V,W$ Vektorräume über einem Körper ${}K$ und es seien

$\psi \colon U\longrightarrow V$

und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

lineare Abbildungen. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für die duale Abbildung gilt

   ${}{\left(\varphi \circ \psi \right)}^{*}=\psi ^{*}\circ \varphi ^{*}\,.$

2. Für die Identität auf ${}V$ ist

   ${}{\operatorname {Id} _{V}}^{*}=\operatorname {Id} _{{V}^{*}}\,.$

3. Wenn ${}\psi$ surjektiv ist, so ist ${}\psi ^{*}$ injektiv.
4. Wenn ${}\psi$ injektiv ist, so ist ${}\psi ^{*}$ surjektiv.

Beweis

(1). Für ${}f\in {W}^{*}$ ist

${}{\left(\varphi \circ \psi \right)}^{*}(f)=f\circ {\left(\varphi \circ \psi \right)}={\left(f\circ \varphi \right)}\circ \psi =\varphi ^{*}(f)\circ \psi =\psi ^{*}(\varphi ^{*}(f))\,.$

(2) folgt direkt aus ${}f\circ \operatorname {Id} _{V}=f$.

(3). Es sei ${}f\in {V}^{*}$ und

${}\psi ^{*}(f)=0\,.$

Wegen der Surjektivität von ${}\psi$ gibt es für jedes ${}v\in V$ ein ${}u\in U$ mit ${}\psi (u)=v$. Daher ist

${}f(v)=f(\psi (u))=(\psi ^{*}(f))(u)=0\,$

und ${}f$ ist selbst die Nullabbildung. Nach Fakt ist ${}\psi ^{*}$ injektiv.

(4). Die Voraussetzung bedeutet, dass man ${}U\subseteq V$ als Untervektorraum auffassen kann. Man kann daher nach Fakt

${}V=U\oplus U'\,$

mit einem weiteren ${}K$-Untervektorraum ${}U'\subseteq V$ schreiben. Eine Linearform

$g\colon U\longrightarrow K$

lässt sich zu einer Linearform

${\tilde {g}}\colon V\longrightarrow K$

fortsetzen, indem man beispielsweise ${}{\tilde {g}}$ auf ${}U'$ als die Nullform ansetzt. Dies bedeutet die Surjektivität.

$\Box$