Lineare Abbildung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ . Eine Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow W

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in V$ .
${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in K$ und ${}v\in V$ .

Die erste Eigenschaft nennt man dabei die Additivität und die zweite Eigenschaft die Verträglichkeit mit Skalierung. Wenn man den Grundkörper betonen möchte, spricht man von Linearität. Die Identität ${}\operatorname {Id} _{V}\colon V\rightarrow V$ , die Nullabbildung ${}V\rightarrow 0$ und die Inklusionen ${}U\subseteq V$ von Untervektorräumen sind die einfachsten Beispiele für lineare Abbildungen. Insgesamt gilt für eine lineare Abbildung die Verträglichkeit mit beliebigen Linearkombinationen, also die Beziehung

{}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi (v_{i})\,,

siehe Aufgabe.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K^{n}$ der ${}n$ -dimensionale Standardraum. Dann ist die ${}i$ -te Projektion, also die Abbildung

K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{i-1},\,x_{i},\,x_{i+1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{i},

eine ${}K$ -lineare Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die ${}i$ -te Projektion heißt auch die ${}i$ -te Koordinatenfunktion.