Lineare Abbildung/Festlegung auf Standardbasis/Zahlenraum/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da sein soll und eine lineare Abbildung nach Fakt  (2) für jede Linearkombination die Eigenschaft

erfüllt, und jeder Vektor sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

indem wir jeden Vektor mit der gegebenen Standardbasis als

schreiben und

ansetzen. Da die Darstellung von als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren und gilt



Sei und . Dann ist