Lineare Abbildung/Festlegungssatz/Endlichdimensional/Textabschnitt

Hinter der folgenden Aussage (dem Festlegungssatz) steckt das wichtige Prinzip, dass in der linearen Algebra (von endlichdimensionalen Vektorräumen) die Objekte durch endlich viele Daten bestimmt sind.


Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei , , eine endliche Basis von und es seien , , Elemente in .

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

mit


Der Funktionsgraph einer linearen Abbildung von nach , die Abbildung ist allein durch den Proportionalitätsfaktor festgelegt.

Die einfachsten linearen Abbildungen sind (neben der Nullabbildung) diejenigen von nach . Eine solche lineare Abbildung

ist aufgrund von Fakt bzw. direkt aufgrund der Definition durch bzw. durch den Wert für ein einziges , , festgelegt. Es ist also mit einem eindeutig bestimmten . Insbesondere im physikalischen Kontext, wenn ist und wenn zwischen zwei messbaren Größen ein linearer Zusammenhang besteht, spricht man von Proportionalität, und heißt der Proportionalitätsfaktor. In der Schule tritt die lineare Beziehung zwischen zwei skalaren Größen als „Dreisatz“ auf.