Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe/Lösung
- Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Die Familie ist eine Basis von .
- Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
- Für jeden Vektor gibt es genau eine Darstellung
- Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.
- Es sei ein
Körper und eine
-Matrix
mit Einträgen in . Dann hat die
Multiplikation
mit den
-Elementarmatrizen
von links mit folgende Wirkung.
- Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
- Multiplikation der -ten Zeile von mit .
- Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().
- Folgende Aussagen sind äquivalent.
- ist trigonalisierbar.
- Es gibt eine -invariante Fahne.
- Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren.
- Das Minimalpolynom zerfällt in Linearfaktoren.