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Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe/Lösung
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Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe
Es sei
K
{\displaystyle {}K}
ein Körper und
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
c
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
c
2
⋮
⋮
⋮
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
⋯
+
a
m
n
x
n
=
c
m
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}}
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über
K
{\displaystyle {}K}
und es sei
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
0
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
0
⋮
⋮
⋮
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
⋯
+
a
m
n
x
n
=
0
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}}
das zugehörige homogene Gleichungssystem. Wenn
(
y
1
,
…
,
y
n
)
{\displaystyle {}{\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)}}
eine Lösung des inhomogenen Systems und
(
z
1
,
…
,
z
n
)
{\displaystyle {}{\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}}
eine Lösung des homogenen Systems ist, so ist
(
y
1
+
z
1
,
…
,
y
n
+
z
n
)
{\displaystyle {}{\left(y_{1}+z_{1},\ldots ,y_{n}+z_{n}\right)}}
eine Lösung des inhomogenen Systems.
Es sei
K
{\displaystyle {}K}
ein Körper,
V
{\displaystyle {}V}
und
W
{\displaystyle {}W}
seien
K
{\displaystyle {}K}
-Vektorräume und
φ
:
V
⟶
W
{\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}
sei eine
K
{\displaystyle {}K}
-lineare Abbildung. Dann ist
φ
{\displaystyle {}\varphi }
injektiv genau dann, wenn
kern
φ
=
0
{\displaystyle {}\operatorname {kern} \varphi =0}
ist.
Es sei
φ
:
V
→
V
{\displaystyle {}\varphi \colon V\rightarrow V}
ein
Endomorphismus
auf dem
endlichdimensionalen
K
{\displaystyle {}K}
-
Vektorraum
V
{\displaystyle {}V}
und es sei
u
=
u
1
,
…
,
u
n
{\displaystyle {}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}}
eine
Basis
von
V
{\displaystyle {}V}
. Es sei
M
=
M
u
u
{\displaystyle {}M=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}}
die
beschreibende Matrix
zu
φ
{\displaystyle {}\varphi }
bezüglich dieser Basis. Dann ist
v
∈
V
{\displaystyle {}v\in V}
genau dann ein
Eigenvektor
zu
φ
{\displaystyle {}\varphi }
zum
Eigenwert
a
{\displaystyle {}a}
, wenn das
Koordinatentupel
zu
v
{\displaystyle {}v}
bezüglich der Basis ein Eigenvektor zu
M
{\displaystyle {}M}
zum Eigenwert
a
{\displaystyle {}a}
ist.