Lineare Gruppe/gW in W/Zariski-Abgeschlossen/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}G$ eine affin-algebraische Gruppe, die auf ${}V$ ${}K$-rational operiere. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für einen Vektor ${}v\in V$ und einen ${}K$-Untervektorraum ${}U\subseteq V$ ist

   ${\left\{g\in G\mid g(v)\in U\right\}}\subseteq G$

   Zariski-abgeschlossen.

2. Zu einem ${}K$-Untervektorraum ${}U\subseteq V$ ist

   $H={\left\{g\in G\mid g(U)\subseteq U\right\}}\subseteq G$

   eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe von ${}G$ (also selbst eine lineare Gruppe).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen