Lineares Differentialgleichungssystem/Anfangswertproblem/2 3 0 7/5 -4/Aufgabe/2/Lösung

Differentialgleichungssysteme mit EDV (Mathematica) berechnen

Folgendes Beispiel soll Berechnet werden.

${\tfrac {d}{dt}}{\binom {y_{1}(t)}{y_{2}(t)}}={\begin{pmatrix}2&3\\0&7\end{pmatrix}}{\binom {y_{1}(t)}{y_{2}(t)}}$ mit der Anfangsbedingungen ${\binom {y_{1}(0)}{y_{2}(0)}}={\binom {5}{-4}}$

Das Berechnungsbeispiel [1] ist ein lineares Differentialgleichungssystem

Einführung

Zunächst wird allgemein ein Differentialgleichungssystem betrachtet.

${\begin{pmatrix}C_{1,1}&C_{1,2}\\C_{2,1}&C_{2,2}\\\end{pmatrix}}{\tfrac {d}{dt}}{\binom {y_{1}(t)}{y_{2}(t)}}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}D_{1,1}&D_{1,2}\\D_{2,1}&D_{2,2}\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\binom {y_{1}(t)}{y_{2}(t)}}+{\binom {r_{1}(t)}{r_{2}(t)}}$

Diese Gleichung wird so umgeformt, dass der Ableitungsvektor isoliert vorkommt. Hierzu wird die Inverse C Matrix benötigt.

${\begin{pmatrix}C_{1,1}&C_{1,2}\\C_{2,1}&C_{2,2}\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}C_{1,1}&C_{1,2}\\C_{2,1}&C_{2,2}\\\end{pmatrix}}{\tfrac {d}{dt}}{\binom {y_{1}(t)}{y_{2}(t)}}={\begin{pmatrix}C_{1,1}&C_{1,2}\\C_{2,1}&C_{2,2}\\\end{pmatrix}}^{-1}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}D_{1,1}&D_{1,2}\\D_{2,1}&D_{2,2}\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\binom {y_{1}(t)}{y_{2}(t)}}+{\begin{pmatrix}C_{1,1}&C_{1,2}\\C_{2,1}&C_{2,2}\\\end{pmatrix}}^{-1}{\binom {r_{1}(t)}{r_{2}(t)}}$

Daraus entsteht folgender Ausdruck

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\frac {d}{dt}}{\binom {y_{1}(t)}{y_{2}(t)}}={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{pmatrix}}{\binom {y_{1}(t)}{y_{2}(t)}}+{\binom {s_{1}(t)}{s_{2}(t)}}$

Zielformel: (Fundamentalsystem)

${\dot {\vec {y}}}(t)={\vec {\vec {A}}}{\vec {y}}(t)+{\vec {s}}(t)$

Ansatz zum lösen des Differentialgleichungssystems:

${\vec {y}}(t)=e^{{\vec {\vec {A}}}t}*{\Bigl (}{\vec {v}}+\int _{\tau =0}^{t}e^{-{\vec {\vec {A}}}t}s(t)d\tau {\Bigr )}$

Dabei fällt der Anteil in dem die Störvektor vorzufinden ist raus da es in der Aufgabe keinen Störvektor gibt. Das Problem ist eine homogenes Differentialgleichungssystem.

${\vec {y}}(t)=e^{{\vec {\vec {A}}}t}{\vec {v}}$

Somit ist die Lösung mit dem Matrixexponential zu bestimmen und über die Anfangsbedingungen wird der Konstantenvektor bestimmt.

Definition Matrixexponetial

$e^{{\vec {\vec {A}}}t}=e^{{\vec {\vec {P}}}{\vec {\vec {D}}}{\vec {\vec {P}}}^{-1}}={\vec {\vec {P}}}e^{{\vec {\vec {D}}}t}{\vec {\vec {P}}}^{-1}$

Die P Matrix besteht aus den Eigenvektoren der A Matrix.

Die Diagonalmatrix enthält auf ihrer Hauptdiagonalen die Eigenwerte der A Matrix.

Die A Matrix ist die Systemmatrix und beschreibt das Eigenverhalten eines technischen Systems.

Allgemein zu den Eigenwerten und den dazugehörigen Eigenvektoren ist das sogenannte Eigensystem.

${\vec {\vec {A}}}{\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}$

Im folgenden soll ein Programm gezeigt werden, dass die Lösung des Systems bestimmt.

Nachdem das Matrixexponential bestimmt wurde bedient man sich der Berechnung des Konstantenvektors:

${\binom {y_{1}(t)}{y_{2}(t)}}={\begin{pmatrix}e^{2t}&{\frac {3}{5}}e^{2t}(-1+e^{5t})\\0&e^{7t}\end{pmatrix}}{\binom {v_{1}}{v_{2}}}$

mit den Anfangsbedingungen:

${\binom {y_{1}(0)}{y_{2}(0)}}={\binom {5}{-4}}={\begin{pmatrix}e^{2*0}&{\frac {3}{5}}e^{2*0}(-1+e^{5*0})\\0&e^{7*0}\end{pmatrix}}{\binom {v_{1}}{v_{2}}}$

${\binom {5}{-4}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\binom {v_{1}}{v_{2}}}$

${\binom {v_{1}}{v_{2}}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\binom {5}{-4}}={\binom {5}{-4}}$

Die Lösung:

$y0(t)={\begin{pmatrix}5e^{2t}&-4{\frac {3}{5}}e^{2t}(-1+e^{5t})\\0&-4e^{7t}\end{pmatrix}}$

Programm Mathematica

$A={\begin{pmatrix}2&3\\0&7\end{pmatrix}};$

$v={\binom {5}{-4}};$

$c0={\binom {c_{1}}{c_{1}}};$

λ = Eigenvalues[A];

κ = Eigenvectrors[A];

G[t_] = MatrixExp[A t];

y[t_] = G[t_].c0;

F[t_] = Inverse[G[t]];

StringForm[" Eigenwerte: ``" , λ //MatrixForm];

StringForm[" Eigenvektoren ``", κ //MatrixForm];

StringForm["Matrixexponential: ``", G[t] //MatrixForm];

StringForm["Inverse Matrixexponential: ``", F[t] //MatrixForm];

StringForm[" Loesungallgemein: ``" , y[t] //MatrixForm];

(*Ergebnisse durch Tasten Shift + Enter*)

$Eigenwerte:{\binom {7}{2}}$

$Eigenvektoren:{\begin{pmatrix}3&5\\1&0\end{pmatrix}}$

$Matrixexponential:{\begin{pmatrix}e^{2t}&{\frac {3}{5}}e^{2t}(-1+e^{5t})\\0&e^{7t}\end{pmatrix}}$

$InverseMatrixexponential:{\begin{pmatrix}e^{-2t}&-{\frac {3}{5}}e^{-7t}(-1+e^{5t})\\0&e^{-7t}\end{pmatrix}}$

$Loesungallgemein:{\begin{pmatrix}e^{2t}c_{1}+{\frac {3}{5}}e^{2t}(-1+e^{5t})c_{2}\\e^{7t}c_{2}\end{pmatrix}}$

Berechnung des Konstantenvektors:

yc[t_] = G[t].c0;

yf[t_] = F[0].v;

yy = yc[t_]//.(c1->5)//:(c2->-4);

StringForm["y0(t) = ``", yc[t]//MatrixForm]

StringForm["Konstantenvektor ``", yf[t]//MatrixForm]

StringForm["Loesung ``", yy//MatrixForm]

(*Ausgabe durch Shift + Enter*)

$y0(t)={\begin{pmatrix}e^{2t}c_{1}&{\frac {3}{5}}e^{2t}(-1+e^{5t})c_{2}\\0&e^{7t}c_{2}\end{pmatrix}}$

$Konstantenvektor{\binom {5}{-4}}$

$Loesung{\binom {{\frac {1}{5}}e^{2t}(37-12e^{5t})}{-4e^{7t}}}$