Lipschitz-stetige Abbildung/Verhalten von Nullmengen/Fakt/Beweis

Beweis

Es gelte

${}d(\varphi (x),\varphi (y))\leq L\cdot d(x,y)\,$

mit einer Lipschitz-Konstanten ${}L\in \mathbb {R} _{\geq 0}$. Zunächst ist für jeden Würfel

${}W\subseteq G\,$

mit der Kantenlänge ${}\delta$ das Bild ${}\varphi (W)$ in einem Ball mit einem Radius ${}\leq n\delta L$ enthalten. Daher gibt es ein (von ${}\delta$ unabhängiges) ${}c>0$ mit

${}\lambda ^{n}(\varphi (W))\leq c\delta ^{n}=c\lambda ^{n}(W)\,$

für alle Würfel. Diese Abschätzung gilt dann auch für alle Quader, da diese beliebig nahe durch Vereinigungen von Würfeln approximiert werden können.

Da ${}S$ eine messbare Nullmenge ist, gibt es aufgrund der Konstruktion des Borel-Lebesgue-Maßes über das äußere Maß zu jedem ${}\epsilon >0$ eine abzählbare Überpflasterung

${}S\subseteq \bigcup _{i\in I}Q_{i}\,$

mit Quadern ${}Q_{i}$ und mit

${}\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})\leq \epsilon \,.$

Daher gilt ${}\varphi (S)\subseteq \bigcup _{i\in I}\varphi (Q_{i})$ und somit

${}\lambda ^{n}(\varphi (S))\leq \lambda ^{n}{\left(\bigcup _{i\in I}\varphi (Q_{i})\right)}\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(\varphi (Q_{i}))\leq \sum _{i\in I}c\lambda ^{n}(Q_{i})=c\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})\leq c\epsilon \,.$

Da man ${}\epsilon$ beliebig klein wählen kann, muss ${}\varphi (S)$ eine Nullmenge sein.

Zur bewiesenen Aussage