Logarithmen/Umkehrfunktionen/Einführung/Textabschnitt

Zu ${}b\neq 1$ sind die reellen Exponentialfunktionen

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto b^{x},$

stetig, streng wachsend oder streng fallend und bijektiv. Wir betrachten die Umkehrfunktionen dazu.

Definition

Zu einer positiven reellen Zahl ${}b>0$, ${}b\neq 1$, wird der Logarithmus zur Basis ${}b$ als Umkehrfunktion zur reellen Exponentialfunktion zur Basis ${}b$ definiert. Der Wert dieser Funktion an der Stelle ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ wird mit

$\log _{b}x$

bezeichnet.

Aus der Umkehreigenschaft ergeben sich direkt die Beziehungen

${}\log _{b}b^{x}=x\,$

und

${}b^{\log _{b}y}=y\,.$

Der Logarithmus zur Basis ${}e$ wird auch als natürlicher Logarithmus, geschrieben ${}\ln x$, bezeichnet. Die Logarithmen sind nach Fakt und Fakt stetige, bijektive Abbildungen

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \log _{b}x.$

Logarithmen zu verschiedenen Basen

Die folgenden Regeln ergeben sich direkt aus der Definition der Logarithmen als Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen.

Lemma

Die Logarithmen zur Basis ${}b$ erfüllen die folgenden Rechenregeln.

1. Es gilt ${}\log _{b}(y\cdot z)=\log _{b}y+\log _{b}z$.
2. Es gilt ${}\log _{b}y^{u}=u\cdot \log _{b}y$ für ${}u\in \mathbb {R}$.
3. Es gilt

   ${}\log _{a}y=\log _{a}{\left(b^{\log _{b}y}\right)}=\log _{b}y\cdot \log _{a}b\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Ein Rechenschieber kann eine Multiplikation durch eine vektorielle Addition (verschieben) ausführen, da die Zahlen logarithmisch angeordnet sind.

Bemerkung  

Das Prinzip des Rechenschiebers beruht auf den Logarithmen. Man möchte die reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ miteinander multiplizieren. Man berechnet zu einer fixierten Basis ${}b$ die zugehörigen Logarithmen, also ${}r=\log _{b}x$ und ${}s=\log _{b}y$. Dann addiert man ${}r+s$ und berechnet davon den Wert der Exponentialfunktion zur Basis ${}b$. Dies ist nach Fakt  (1) gleich

${}b^{r+s}=b^{\log _{b}x+\log _{b}y}=b^{\log _{b}xy}=xy\,,$

also das gesuchte Produkt. Die Berechnungen des Logarithmus und der Exponentialfunktion können dabei durch hinreichend genaue Wertetabellen oder eben durch eine logarithmische Skala auf dem Rechenschieber ersetzt werden. Die Addition der Logarithmen wird dabei mechanisch durch das Verschieben der beweglichen Skala bewerkstelligt. Auf einer logarithmischen Skala werden die Zahlen zwischen ${}1$ und ${}10$ auf einer Strecke so angeordnet, dass die (auf der üblichen Skala) Stelle ${}\log _{10}y$ mit ${}y$ bezeichnet wird. Die Skala ergibt sich auch, wenn man auf dem Graphen des Logarithmus die Werte an den Stellen zwischen ${}1$ und ${}10$ markiert und diese Punkte auf die ${}y$-Achse projiziert.