Lokal kompakter Raum/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Kompakt konvergente Teilfolge/Fakt

Es sei ${}X$ ein lokal kompakter topologischer Raum, der eine kompakte Ausschöpfung besitze, und sei ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Topologie der kompakten Konvergenz. Es seien die beiden Eigenschaften

1. ${}T$ ist gleichgradig stetig,
2. Für jeden Punkt ${}x\in X$ ist das Auswertungsbild ${}{\left\{f(x)\mid f\in T\right\}}$ beschränkt,

erfüllt.

Dann besitzt jede Folge in ${}T$ eine kompakt konvergente Teilfolge.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen