Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Modulhomomorphismus/Surjektivität/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}W\subseteq V$ der Bildmodul, der Homomorphismus faktorisiert

$U\longrightarrow W\longrightarrow V.$

Dazu gehören die ${}R/{\mathfrak {m}}$-Modulhomomorphismen

$U/{\mathfrak {m}}U\longrightarrow W/{\mathfrak {m}}W\longrightarrow V/{\mathfrak {m}}V.$

Nach Voraussetzung ist die Gesamtabbildung surjektiv, also ist auch die hintere Abbildung surjektiv. Dies bedeutet

${}V={\mathfrak {m}}V+W\,,$

woraus mit Fakt ${}W=V$ folgt. Dies bedeutet die Surjektivität der Ausgangsabbildung.

Zur bewiesenen Aussage