Lokaler Ring/Regulär/Faktoriell/Fakt/Beweis

Beweis

Der Ring ist ein Integritätsbereich nach Fakt. Wir beweisen die Faktorialität durch Induktion über die Dimension ${}d$ des Ringes. Bei ${}d=0$ ist nichts zu zeigen, sei also die Faktorialität für lokale reguläre Ringe kleinerer Dimension bekannt. Es sei ${}f\in {\mathfrak {m}}\setminus {\mathfrak {m}}^{2}$. Dann ist ${}R/(f)$ nach Fakt regulär und insbesondere ist ${}R/(f)$ ein Integritätsbereich. Somit ist ${}f$ ein Primelement von ${}R$. Nach Fakt genügt es zu zeigen, dass ${}R_{f}$ faktoriell ist. Dafür ist nach Fakt zu zeigen, dass jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq (f)$ der Höhe ${}1$ von ${}R$ in ${}R_{f}$ ein Hauptideal wird. Für jedes Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ von ${}R_{f}$ ist ${}R_{\mathfrak {q}}$ eine Lokalisierung von ${}R$ und somit regulär nach Fakt. Da die Dimension von ${}R_{\mathfrak {q}}$ kleiner als ${}d$ ist, können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhalten, dass ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {q}}$ ein Hauptideal ist. Dies bedeutet, dass ${}{\mathfrak {p}}_{f}$ lokal in ${}R_{f}$ ein Hauptideal ist, und zwar vom Rang ${}1$. Nach Fakt ist ${}{\mathfrak {p}}_{f}$ ein projektiver ${}R_{f}$-Modul. Nach Fakt gibt es eine endliche freie Auflösung

$0\longrightarrow F_{r}\longrightarrow \cdots \longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow {\mathfrak {p}}\longrightarrow 0.$

Dies führt mit der Nenneraufnahme an ${}f$ zu einer endlichen freien Auflösung

$0\longrightarrow (F_{r})_{f}\longrightarrow \cdots \longrightarrow (F_{1})_{f}\longrightarrow (F_{0})_{f}\longrightarrow {\mathfrak {p}}_{f}\longrightarrow 0$

auf ${}R_{f}$. Somit sind die Bedingungen von Fakt erfüllt und man erhält, dass ${}{\mathfrak {p}}_{f}$ durch einen freien ${}R_{f}$-Modul zu einem freien Modul ergänzt werden kann. Wegen der Rangeigenschaft folgt ${}{\mathfrak {p}}_{f}=R_{f}$ nach Fakt, es liegt also ein Hauptideal vor.

Zur bewiesenen Aussage