Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Unter dem Bildmaß versteht man das für messbare Teilmengen ${}T\subseteq N$ durch

   ${}\nu (T):=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$

   definierte Maß auf ${}N$.

2. Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ mit ${}\mu (M)=1$.
3. Man nennt

   ${}P={\left\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$

   das von den ${}v_{i}$ erzeugte Parallelotop.

4. Man nennt das für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq M$ durch

   ${}\nu (T):=\int _{T}g\,d\mu \,$

   definierte Maß auf ${}M$ das Maß zur Dichte ${}g$.

5. Ein metrischer Raum ${}M$ heißt total beschränkt, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ endlich viele Punkte ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in M$ derart gibt, dass

   ${}M=\bigcup _{i=1}^{n}U{\left(x_{i},\epsilon \right)}\,$

   gilt.

6. Ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Hilbertraum.

Zur gelösten Aufgabe