Mannigfaltigkeit/Differentialform/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) und (2) folgen unmittelbar aus einer punktweisen Betrachtung.
(3). Für jeden Punkt ${}P\in M$ ist

$T_{P}f\colon T_{P}M\longrightarrow T_{f(P)}\mathbb {R} \cong \mathbb {R}$

eine nach Fakt  (3) lineare Abbildung und somit ein Element in ${}T_{P}^{*}M$, das wir mit ${}(df)_{P}$ bezeichnen. Die Zuordnung ${}P\mapsto (df)_{P}$ ist daher eine Differentialform.
(4) folgt aus Fakt  (1).
(5). Die Abbildung in (3) ist für jeden Punkt ${}P\in M$ auf jeder offenen Umgebung festgelegt. Wir können daher annehmen, dass ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ eine offene Menge ist, sodass die Aussage aus (4) und Fakt folgt.

Zur bewiesenen Aussage